Holomorphic Functions
Complex differentiability is a two-dimensional rigidity condition disguised as a one-variable limit. This chapter develops the difference quotient, the Cauchy–Riemann equations, the complex-linear form of the real differential, harmonic components, the standard exponential and trigonometric functions, the principal logarithm and its branch cut, and the local geometry of conformal maps. The emphasis is on precise hypotheses and on separating pointwise complex differentiability from holomorphicity on an open set.La dérivabilité complexe est une condition de rigidité bidimensionnelle cachée dans une limite à une variable. Ce chapitre développe le quotient différentiel, les équations de Cauchy–Riemann, la forme complexe-linéaire de la différentielle réelle, les composantes harmoniques, l’exponentielle et les fonctions trigonométriques complexes, le logarithme principal et sa coupure, ainsi que la géométrie locale des applications conformes. L’accent est mis sur les hypothèses exactes et sur la distinction entre dérivabilité ponctuelle et holomorphie sur un ouvert.
Visual Investigations
Objectives & Prerequisites
- Specific objective 1. Use the complex difference quotient correctly and distinguish pointwise differentiability from holomorphicity.Objectif spécifique 1. Utiliser correctement le quotient différentiel complexe et distinguer dérivabilité ponctuelle et holomorphie.
- Specific objective 2. Derive and apply the Cauchy–Riemann equations with the correct regularity hypotheses.Objectif spécifique 2. Déduire et appliquer les équations de Cauchy–Riemann avec les bonnes hypothèses de régularité.
- Specific objective 3. Interpret a holomorphic derivative as a complex-linear real differential.Objectif spécifique 3. Interpréter la dérivée holomorphe comme une différentielle réelle complexe-linéaire.
- Specific objective 4. Connect holomorphic functions to harmonic functions and harmonic conjugates.Objectif spécifique 4. Relier fonctions holomorphes, fonctions harmoniques et conjuguées harmoniques.
- Specific objective 5. Work rigorously with the complex exponential, trigonometric functions, and the principal logarithm.Objectif spécifique 5. Manipuler rigoureusement l’exponentielle complexe, les fonctions trigonométriques et le logarithme principal.
- Specific objective 6. Explain local conformality at points where the derivative does not vanish.Objectif spécifique 6. Expliquer la conformité locale aux points où la dérivée ne s’annule pas.
- Real differentiability in \(\mathbb R^2\), partial derivatives, and the chain rule.Différentiabilité réelle dans \(\mathbb R^2\), dérivées partielles et règle de chaîne.
- Complex numbers in Cartesian and polar form; Euler’s formula.Nombres complexes sous formes cartésienne et polaire ; formule d’Euler.
- Multivariable calculus: Jacobians, gradients, mixed partial derivatives, Laplacian.Calcul multivariable : jacobiens, gradients, dérivées croisées, laplacien.
- Connected open sets and basic path/continuity arguments.Ouverts connexes et arguments élémentaires de continuité et de chemins.
- Directional-limit counterexamples.Contre-exemples par limites directionnelles.
- First-order expansions and little-o notation.Développements du premier ordre et notation petit-o.
- Solving first-order PDE constraints via Cauchy–Riemann.Résolution de contraintes différentielles via Cauchy–Riemann.
- Distinguishing theorem hypotheses from later consequences.Distinction entre hypothèses de théorèmes et conséquences ultérieures.
Later dependence. Cauchy–Riemann and complex differentiability feed directly into contour integration (Ch. 2), power-series theory (Ch. 3), residues (Ch. 4), and conformal mapping (Ch. 5). Maximum-modulus and open-mapping results are intentionally deferred until the integral tools needed for rigorous proofs are available.
Core Definitions
Let \(U\subset\mathbb C\) be open and \(z_0\in U\). The complex derivative of \(f:U\to\mathbb C\) at \(z_0\) is
\[f'(z_0)=\lim_{h\to0,\ h\ne0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},\]
provided the limit exists for arbitrary complex increments \(h\). The function is holomorphic on \(U\) if it is complex differentiable at every point of \(U\). If \(U=\mathbb C\), it is entire.
Soit \(U\subset\mathbb C\) ouvert et \(z_0\in U\). La dérivée complexe de \(f:U\to\mathbb C\) en \(z_0\) est
\[f'(z_0)=\lim_{h\to0,\ h\ne0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},\]
si cette limite existe pour tout accroissement complexe \(h\). La fonction est holomorphe sur \(U\) si elle est dérivable au sens complexe en tout point. Si \(U=\mathbb C\), elle est entière.
For \(f(z)=z^2\),
\[\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}{h}=2z_0+h\longrightarrow2z_0.\]
Thus \(f\) is entire and \(f'(z)=2z\).
Pour \(f(z)=z^2\),
\[\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}{h}=2z_0+h\longrightarrow2z_0.\]
Ainsi \(f\) est entière et \(f'(z)=2z\).
If \(f=u+iv\) with \(z=x+iy\), the Cauchy–Riemann equations are
\[u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.\]
They express that the real differential, when it exists, is multiplication by one complex number rather than an arbitrary real-linear map.
Si \(f=u+iv\) avec \(z=x+iy\), les équations de Cauchy–Riemann sont
\[u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.\]
Elles expriment que la différentielle réelle, lorsqu’elle existe, est une multiplication par un nombre complexe et non une application réelle linéaire quelconque.
For \(f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)\), one has \(u_x=2x=v_y\) and \(u_y=-2y=-v_x\), so the Cauchy–Riemann equations hold everywhere.
Pour \(f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)\), on a \(u_x=2x=v_y\) et \(u_y=-2y=-v_x\) : les équations de Cauchy–Riemann sont vérifiées partout.
A \(C^2\) real-valued function \(u\) on a planar open set is harmonic if \(\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0\). A function \(v\) is a harmonic conjugate of \(u\) if \(u+iv\) is holomorphic.
Une fonction réelle \(u\in C^2\) sur un ouvert du plan est harmonique si \(\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0\). Une fonction \(v\) est une conjuguée harmonique de \(u\) si \(u+iv\) est holomorphe.
For \(u(x,y)=x^2-y^2\), \(\Delta u=2-2=0\). Solving \(v_y=u_x=2x\) and \(v_x=-u_y=2y\) gives \(v=2xy+C\).
Pour \(u(x,y)=x^2-y^2\), \(\Delta u=2-2=0\). Les équations \(v_y=u_x=2x\) et \(v_x=-u_y=2y\) donnent \(v=2xy+C\).
A function \(f\) is analytic at \(z_0\) if there are coefficients \((a_n)\) and \(r>0\) such that
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\quad(|z-z_0|<r).\]
Complex analysis proves later that holomorphic and analytic are equivalent. The implication “holomorphic \(\Rightarrow\) analytic” will be established from Cauchy’s integral formula in Chapter 2.
Une fonction \(f\) est analytique en \(z_0\) s’il existe \(r>0\) et des coefficients \((a_n)\) tels que
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\quad(|z-z_0|<r).\]
On démontrera plus loin que « holomorphe » et « analytique » sont équivalents ; le sens holomorphe \(\Rightarrow\) analytique découlera de la formule intégrale de Cauchy au chapitre 2.
The geometric series \(f(z)=1/(1-z)=\sum_{n\ge0}z^n\) for \(|z|<1\) is analytic at \(0\) with radius of convergence \(1\).
La série géométrique \(f(z)=1/(1-z)=\sum_{n\ge0}z^n\) pour \(|z|<1\) est analytique en \(0\), avec rayon de convergence \(1\).
For \(z=x+iy\), define \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\), and then
\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2.\]
Pour \(z=x+iy\), on définit \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\), puis
\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2.\]
At \(z=x+iy\), \(|e^z|=e^x\). In particular \(e^z\neq0\) for every \(z\), and \(e^{z+2\pi i}=e^z\).
Pour \(z=x+iy\), \(|e^z|=e^x\). Ainsi \(e^z\neq0\) pour tout \(z\), et \(e^{z+2\pi i}=e^z\).
On an open set \(D\subset\mathbb C\setminus\{0\}\), a holomorphic branch of the logarithm is a holomorphic \(L:D\to\mathbb C\) such that \(e^{L(z)}=z\). On the slit plane \(D=\mathbb C\setminus(-\infty,0]\), the principal logarithm is
\[\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z,\qquad \operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi).\]
Sur un ouvert \(D\subset\mathbb C\setminus\{0\}\), une branche holomorphe du logarithme est une fonction holomorphe \(L:D\to\mathbb C\) telle que \(e^{L(z)}=z\). Sur le plan fendu \(D=\mathbb C\setminus(-\infty,0]\), le logarithme principal est
\[\operatorname{Log}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z,\qquad \operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi).\]
For \(z=i\), \(\operatorname{Arg}i=\pi/2\), so \(\operatorname{Log}i=i\pi/2\). For \(z=-1\), the principal logarithm is not defined because \(-1\) lies on the branch cut.
Pour \(z=i\), \(\operatorname{Arg}i=\pi/2\), donc \(\operatorname{Log}i=i\pi/2\). Pour \(z=-1\), le logarithme principal n’est pas défini car \(-1\) appartient à la coupure.
A differentiable map \(F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) is conformal at a point if its derivative there is a positive scalar multiple of a rotation. A holomorphic map \(f\) is conformal at \(z_0\) whenever \(f'(z_0)\neq0\).
Une application différentiable \(F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) est conforme en un point si sa différentielle y est une homothétie positive suivie d’une rotation. Une fonction holomorphe \(f\) est conforme en \(z_0\) dès que \(f'(z_0)\neq0\).
For \(f(z)=z^2\) at \(z_0=1+i\), \(f'(z_0)=2+2i=2\sqrt2e^{i\pi/4}\). Infinitesimally, lengths are scaled by \(2\sqrt2\) and directions are rotated by \(\pi/4\).
Pour \(f(z)=z^2\) en \(z_0=1+i\), \(f'(z_0)=2+2i=2\sqrt2e^{i\pi/4}\). Infinitésimalement, les longueurs sont multipliées par \(2\sqrt2\) et les directions tournées de \(\pi/4\).
Theorems & Proofs
Let \(f=u+iv\). If \(f\) is complex differentiable at \(z_0=(x_0,y_0)\), then the four partial derivatives at \(z_0\) exist and satisfy \(u_x=v_y\), \(u_y=-v_x\). Conversely, if \(u,v\) are \(C^1\) in a neighborhood of \(z_0\) and the Cauchy–Riemann equations hold at \(z_0\), then \(f\) is complex differentiable at \(z_0\), with \(f'(z_0)=u_x+iv_x\).
Soit \(f=u+iv\). Si \(f\) est dérivable au sens complexe en \(z_0=(x_0,y_0)\), les quatre dérivées partielles existent en \(z_0\) et vérifient \(u_x=v_y\), \(u_y=-v_x\). Réciproquement, si \(u,v\) sont \(C^1\) dans un voisinage de \(z_0\) et satisfont les équations de Cauchy–Riemann en \(z_0\), alors \(f\) est dérivable au sens complexe en \(z_0\), avec \(f'(z_0)=u_x+iv_x\).
Take the difference quotient first along real increments and then along purely imaginary increments. For sufficiency, use the real differentiability furnished by the \(C^1\) hypothesis and insert the Cauchy–Riemann relations into the first-order expansion.
On calcule d’abord le quotient différentiel selon les accroissements réels puis selon les accroissements purement imaginaires. Pour la suffisance, la régularité \(C^1\) fournit la différentiabilité réelle ; on injecte ensuite les relations de Cauchy–Riemann dans le développement du premier ordre.
Necessity. With \(h=t\in\mathbb R\),
\[f'(z_0)=\lim_{t\to0}\frac{u(x_0+t,y_0)-u(x_0,y_0)}t+i\lim_{t\to0}\frac{v(x_0+t,y_0)-v(x_0,y_0)}t=u_x+iv_x.\]
With \(h=it\),
\[f'(z_0)=\lim_{t\to0}\frac{u(x_0,y_0+t)-u(x_0,y_0)+i(v(x_0,y_0+t)-v(x_0,y_0))}{it}=v_y-iu_y.\]
Equality gives \(u_x=v_y\) and \(v_x=-u_y\).
Sufficiency. Put \(h=\Delta x+i\Delta y\). Real differentiability gives \(\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|h|)\) and \(\Delta v=v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(|h|)\). By C–R, \(\Delta f=(u_x+iv_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)\). Dividing by \(h\neq0\) yields \(\Delta f/h\to u_x+iv_x\). ∎
Nécessité. Pour \(h=t\in\mathbb R\), le quotient tend vers \(u_x+iv_x\). Pour \(h=it\), il tend vers \(v_y-iu_y\). Leur égalité donne \(u_x=v_y\) et \(v_x=-u_y\).
Suffisance. Écrivons \(h=\Delta x+i\Delta y\). La différentiabilité réelle donne \(\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|h|)\) et \(\Delta v=v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(|h|)\). Avec C–R, \(\Delta f=(u_x+iv_x)h+o(|h|)\). Donc \(\Delta f/h\to u_x+iv_x\). ∎
Assume \(f=u+iv\) is real differentiable at \(z_0\). Then \(f\) is complex differentiable at \(z_0\) iff its real Jacobian has the form
\[Df(z_0)=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}.\]
In that case \(f'(z_0)=a+ib\).
Supposons \(f=u+iv\) différentiable au sens réel en \(z_0\). Alors \(f\) est dérivable au sens complexe en \(z_0\) si et seulement si son jacobien réel est de la forme
\[Df(z_0)=\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}.\]
Dans ce cas \(f'(z_0)=a+ib\).
Translate the Cauchy–Riemann equations into matrix entries. Then identify the matrix with real-coordinate multiplication by \(a+ib\).
Traduire les équations de Cauchy–Riemann dans les coefficients de la matrice, puis reconnaître la matrice de la multiplication complexe par \(a+ib\).
Real multiplication by \(a+ib\) sends \(x+iy\) to \((ax-by)+i(bx+ay)\), whose matrix is exactly \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\). By Theorem 1.1, complex differentiability is equivalent, under real differentiability, to \(u_x=v_y=a\) and \(u_y=-v_x=-b\). Thus the stated matrix form is necessary and sufficient, and the multiplier is \(f'(z_0)=a+ib\). ∎
La multiplication par \(a+ib\) en coordonnées réelles envoie \(x+iy\) sur \((ax-by)+i(bx+ay)\), donc a pour matrice \(\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\). Le théorème 1.1 identifie exactement ces égalités aux équations de Cauchy–Riemann. Le multiplicateur est \(f'(z_0)=a+ib\). ∎
If \(f,g\) are complex differentiable at \(z_0\), then so are \(f+g\), \(fg\), and \(f/g\) when \(g(z_0)\neq0\), with the usual derivative formulas. If \(g\) is differentiable at \(z_0\) and \(f\) at \(g(z_0)\), then \((f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)\).
Si \(f,g\) sont dérivables au sens complexe en \(z_0\), alors \(f+g\), \(fg\) et \(f/g\) (si \(g(z_0)\neq0\)) le sont aussi, avec les formules usuelles. Si \(g\) est dérivable en \(z_0\) et \(f\) en \(g(z_0)\), alors \((f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)\).
Use the one-variable difference-quotient identities, noting that complex differentiability implies continuity. For the chain rule, factor the quotient through \(g(z)-g(z_0)\) and handle the case where this difference vanishes by the standard remainder formulation.
Utiliser les identités classiques de quotients différentiels, en remarquant que la dérivabilité complexe implique la continuité. Pour la chaîne, factoriser via \(g(z)-g(z_0)\) et traiter les éventuels zéros avec une écriture en reste.
For the product, write
\[\frac{f(z)g(z)-f_0g_0}{z-z_0}=g(z)\frac{f(z)-f_0}{z-z_0}+f_0\frac{g(z)-g_0}{z-z_0}.\]
Since \(g(z)\to g_0\), the limit is \(g_0f'(z_0)+f_0g'(z_0)\). The quotient rule follows by applying the product rule to \(g^{-1}\), whose difference quotient simplifies to \(-[g(z)g_0]^{-1}(g(z)-g_0)/(z-z_0)\). For the chain rule, differentiability gives \(f(w)=f(w_0)+f'(w_0)(w-w_0)+o(|w-w_0|)\) and \(g(z)=w_0+g'(z_0)(z-z_0)+o(|z-z_0|)\). Since differentiability of \(g\) implies \(|g(z)-w_0|=O(|z-z_0|)\), the remainder of \(f\), evaluated at \(w=g(z)\), is also \(o(|z-z_0|)\). Substitution therefore gives the product derivative rigorously. ∎
Pour le produit, on écrit
\[\frac{f(z)g(z)-f_0g_0}{z-z_0}=g(z)\frac{f(z)-f_0}{z-z_0}+f_0\frac{g(z)-g_0}{z-z_0}.\]
La continuité donne la formule du produit. La règle du quotient s’obtient en dérivant \(g^{-1}\). Pour la chaîne, les développements au premier ordre de \(f\) et \(g\), composés l’un dans l’autre, donnent \((f\circ g)'=f'(g)g'\). ∎
If \(f=u+iv\) is holomorphic on \(U\) and \(u,v\in C^2(U)\), then \(\Delta u=\Delta v=0\).
Si \(f=u+iv\) est holomorphe sur \(U\) et \(u,v\in C^2(U)\), alors \(\Delta u=\Delta v=0\).
Differentiate the two Cauchy–Riemann equations once more and use equality of mixed partial derivatives.
Dériver une fois encore les deux équations de Cauchy–Riemann puis utiliser l’égalité des dérivées partielles croisées.
From \(u_x=v_y\), differentiate in \(x\): \(u_{xx}=v_{yx}\). From \(u_y=-v_x\), differentiate in \(y\): \(u_{yy}=-v_{xy}\). Since \(v\in C^2\), \(v_{yx}=v_{xy}\), hence \(\Delta u=0\). Similarly, differentiating \(v_x=-u_y\) in \(x\) and \(v_y=u_x\) in \(y\) gives \(\Delta v=-u_{yx}+u_{xy}=0\). ∎
De \(u_x=v_y\), on tire \(u_{xx}=v_{yx}\), et de \(u_y=-v_x\), \(u_{yy}=-v_{xy}\). Comme \(v\in C^2\), les dérivées croisées sont égales, donc \(\Delta u=0\). De même \(\Delta v=-u_{yx}+u_{xy}=0\). ∎
Let \(U\) be connected. If \(v_1\) and \(v_2\) are harmonic conjugates of the same \(u\) on \(U\), then \(v_1-v_2\) is constant on \(U\).
Soit \(U\) connexe. Si \(v_1\) et \(v_2\) sont deux conjuguées harmoniques de la même fonction \(u\) sur \(U\), alors \(v_1-v_2\) est constante sur \(U\).
Apply Cauchy–Riemann to both pairs \((u,v_1)\) and \((u,v_2)\). Their gradients coincide, so the difference has zero gradient; connectedness makes it globally constant.
Appliquer Cauchy–Riemann aux couples \((u,v_1)\) et \((u,v_2)\). Les gradients coïncident ; la différence a donc un gradient nul et, par connexité, elle est constante.
For \(j=1,2\), C–R gives \((v_j)_y=u_x\) and \((v_j)_x=-u_y\). Therefore \(\partial_x(v_1-v_2)=\partial_y(v_1-v_2)=0\). A \(C^1\) function with zero gradient is constant on every connected component; since \(U\) is connected, \(v_1-v_2\) is constant on \(U\). ∎
Pour \(j=1,2\), C–R donne \((v_j)_y=u_x\) et \((v_j)_x=-u_y\). Ainsi les deux dérivées partielles de \(v_1-v_2\) sont nulles. Une fonction \(C^1\) de gradient nul est constante sur chaque composante connexe ; \(U\) étant connexe, la différence est constante. ∎
If \(f\) is holomorphic near \(z_0\) and \(f'(z_0)\neq0\), then its real differential at \(z_0\) is the composition of a rotation by any argument of \(f'(z_0)\), defined modulo \(2\pi\), and a dilation by \(|f'(z_0)|\). Hence oriented angles between nonzero tangent vectors are preserved.
Si \(f\) est holomorphe près de \(z_0\) et \(f'(z_0)\neq0\), sa différentielle réelle en \(z_0\) est la composée d’une rotation d’angle \(\arg f'(z_0)\) et d’une homothétie de rapport \(|f'(z_0)|\). Les angles orientés entre vecteurs tangents non nuls sont donc préservés.
Use Theorem 1.2: the derivative matrix is multiplication by \(f'(z_0)\). Write that complex number in polar form.
Utiliser le théorème 1.2 : la matrice différentielle est la multiplication par \(f'(z_0)\), puis écrire ce nombre complexe sous forme polaire.
By Theorem 1.2, \(Df(z_0)\) is multiplication by \(a+ib=f'(z_0)\). Since \(f'(z_0)\neq0\), write \(f'(z_0)=\rho e^{i\theta}\) with \(\rho>0\). Then for every tangent vector \(w\in\mathbb C\), \(Df(z_0)w=\rho e^{i\theta}w\): every length is multiplied by \(\rho\), and every direction is rotated by the same \(\theta\). Therefore angle differences are unchanged. ∎
D’après le théorème 1.2, \(Df(z_0)\) est la multiplication par \(f'(z_0)\). Écrivons \(f'(z_0)=\rho e^{i\theta}\), \(\rho>0\). Pour tout vecteur tangent \(w\), \(Df(z_0)w=\rho e^{i\theta}w\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(\rho\) et toutes les directions tournées du même angle \(\theta\). Les différences d’angles sont donc conservées. ∎
Holomorphic functions are analytic, and the maximum-modulus and open-mapping theorems hold, but their rigorous proofs depend on Cauchy’s integral theorem/formula developed in Chapter 2. They are therefore previews here, not compressed “proof sketches.”
Les fonctions holomorphes sont analytiques, et les théorèmes du module maximum et de l’application ouverte sont vrais ; leurs démonstrations rigoureuses utilisent toutefois les outils intégraux du chapitre 2. Ils sont donc annoncés ici sans pseudo-démonstration comprimée.
Worked Examples
Let \(f(z)=\overline z^{\,2}\). At \(0\),
\[\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{\overline h^{\,2}}h,\qquad \left|\frac{\overline h^{\,2}}h\right|=|h|\to0,\]
so \(f'(0)=0\). Away from \(0\), C–R fails, so \(f\) is not holomorphic on any neighborhood of \(0\). This separates pointwise complex differentiability from holomorphicity.
Soit \(f(z)=\overline z^{\,2}\). En \(0\), le quotient \(\overline h^{\,2}/h\) a pour module \(|h|\to0\), donc \(f'(0)=0\). Hors de \(0\), C–R échoue ; \(f\) n’est holomorphe dans aucun voisinage de \(0\).
For \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\), the C–R equations hold because \(u_x=e^x\cos y=v_y\) and \(u_y=-e^x\sin y=-v_x\). Hence \(e^z\) is entire and \((e^z)'=e^z\).
Pour \(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\), les équations C–R sont vérifiées car \(u_x=e^x\cos y=v_y\) et \(u_y=-e^x\sin y=-v_x\). Ainsi \(e^z\) est entière et \((e^z)'=e^z\).
From the exponential definitions and the chain rule, \((\sin z)'=\cos z\) and \((\cos z)'=-\sin z\). Moreover
\[\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\]
so \(|\sin z|\) is unbounded as \(|y|\to\infty\).
À partir des définitions exponentielles et de la règle de chaîne, \((\sin z)'=\cos z\) et \((\cos z)'=-\sin z\). De plus \(\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\), donc \(|\sin z|\) n’est pas borné quand \(|y|\to\infty\).
On \(D=\mathbb C\setminus(-\infty,0]\), \(\operatorname{Log}z=\ln r+i\theta\) with \(\theta\in(-\pi,\pi)\). In polar coordinates its derivative is \(1/z\). The negative real axis is excluded precisely to prevent the argument from jumping by \(2\pi\).
Sur \(D=\mathbb C\setminus(-\infty,0]\), \(\operatorname{Log}z=\ln r+i\theta\), \(\theta\in(-\pi,\pi)\), et sa dérivée est \(1/z\). L’axe réel négatif est exclu afin d’éviter le saut de \(2\pi\) de l’argument.
Take \(u(x,y)=e^x\cos y\). From \(v_y=u_x=e^x\cos y\), one gets \(v=e^x\sin y+C(x)\). Then \(v_x=e^x\sin y+C'(x)=-u_y=e^x\sin y\), so \(C\) is constant. Thus \(u+i v=e^z+iC\).
Pour \(u(x,y)=e^x\cos y\), l’équation \(v_y=u_x=e^x\cos y\) donne \(v=e^x\sin y+C(x)\). Puis \(v_x=-u_y\) impose \(C'(x)=0\). Ainsi \(u+iv=e^z+iC\).
For \(f(z)=z^2\), \(f'(z)=2z\). At every \(z_0\neq0\), the local scale is \(2|z_0|\) and the local rotation angle is \(\arg z_0\). At \(z_0=0\), the derivative vanishes and conformality fails.
Pour \(f(z)=z^2\), \(f'(z)=2z\). En tout \(z_0\neq0\), le facteur local vaut \(2|z_0|\) et l’angle de rotation local vaut \(\arg z_0\). En \(0\), la dérivée s’annule et la conformité échoue.
Exercises
Thirty exercises progress from recognition to synthesis. Every exercise includes three progressive hints, a LaTeX reasoning workspace, live preview, and a detailed correction.Trente exercices progressent de la reconnaissance à la synthèse. Chaque exercice comporte trois indices progressifs, un espace LaTeX, un aperçu en direct et une correction détaillée.
For \(h\neq0\),
\[\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}{h}=\frac{2z_0h+h^2}{h}=2z_0+h.\]
The final expression tends to \(2z_0\) for every complex path \(h\to0\). Therefore the complex derivative exists at every \(z_0\), \(f'(z_0)=2z_0\), and \(z^2\) is entire.
Pour \(h\neq0\),
\[\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}{h}=2z_0+h.\]
Cette expression tend vers \(2z_0\) quel que soit le chemin complexe \(h\to0\). Donc \(f'(z_0)=2z_0\) et \(z^2\) est entière.
Compare your argument line by line with the solution above. Verify that every hypothesis used is stated, every limit or derivative is justified, and the final conclusion answers the original problem explicitly.Comparez votre argument ligne par ligne avec la solution ci-dessus. Vérifiez que chaque hypothèse utilisée est énoncée, que chaque limite ou dérivée est justifiée et que la conclusion répond explicitement au problème initial.
The difference-of-powers identity gives
\[(z_0+h)^n-z_0^n=h\sum_{k=0}^{n-1}(z_0+h)^{n-1-k}z_0^k.\]
Divide by \(h\neq0\). As \(h\to0\), every one of the \(n\) summands tends to \(z_0^{n-1}\), so the limit is \(nz_0^{n-1}\).
L'identité de différence des puissances donne
\[(z_0+h)^n-z_0^n=h\sum_{k=0}^{n-1}(z_0+h)^{n-1-k}z_0^k.\]
Après division par \(h\) et passage à la limite, les \(n\) termes tendent vers \(z_0^{n-1}\). Ainsi \((z^n)'=nz^{n-1}\).
Compare your argument line by line with the solution above. Verify that every hypothesis used is stated, every limit or derivative is justified, and the final conclusion answers the original problem explicitly.Comparez votre argument ligne par ligne avec la solution ci-dessus. Vérifiez que chaque hypothèse utilisée est énoncée, que chaque limite ou dérivée est justifiée et que la conclusion répond explicitement au problème initial.
For every \(z_0\),
\[\frac{\overline{z_0+h}-\overline{z_0}}{h}=\frac{\overline h}{h}.\]
For real \(h=t\neq0\), this is \(1\). For purely imaginary \(h=it\), it is \(-1\). Since two approaches to \(0\) give different limits, the complex derivative exists nowhere.
Pour tout \(z_0\), le quotient vaut \(\overline h/h\). Il vaut \(1\) pour \(h=t\) et \(-1\) pour \(h=it\). La limite dépend de la direction : la fonction n'est dérivable en aucun point.
Compare your argument line by line with the solution above. Verify that every hypothesis used is stated, every limit or derivative is justified, and the final conclusion answers the original problem explicitly.Comparez votre argument ligne par ligne avec la solution ci-dessus. Vérifiez que chaque hypothèse utilisée est énoncée, que chaque limite ou dérivée est justifiée et que la conclusion répond explicitement au problème initial.
The increment quotient is
\[\frac{\operatorname{Re}(z_0+h)-\operatorname{Re}z_0}{h}=\frac{\operatorname{Re}h}{h}.\]
It equals \(1\) on real increments and \(0\) on purely imaginary increments. Hence the required direction-independent limit does not exist at any base point.
Le quotient est \(\operatorname{Re}h/h\). Il vaut \(1\) sur les accroissements réels et \(0\) sur les accroissements imaginaires. La limite complexe n'existe donc en aucun point.
Compare your argument line by line with the solution above. Verify that every hypothesis used is stated, every limit or derivative is justified, and the final conclusion answers the original problem explicitly.Comparez votre argument ligne par ligne avec la solution ci-dessus. Vérifiez que chaque hypothèse utilisée est énoncée, que chaque limite ou dérivée est justifiée et que la conclusion répond explicitement au problème initial.
At the origin, \(|h|^2/h=\overline h\to0\), so \(f'(0)=0\). Away from the origin, \(u=x^2+y^2\), \(v=0\), and the C–R equations require \(2x=2y=0\), impossible there. Thus the differentiability set is exactly \(\{0\}\). Since no open neighborhood consists of differentiability points, \(|z|^2\) is holomorphic nowhere.
À l'origine, \(|h|^2/h=\overline h\to0\), donc \(f'(0)=0\). Hors de l'origine, C–R pour \(u=x^2+y^2\), \(v=0\) imposerait \(x=y=0\). Le seul point de dérivabilité est donc \(0\), et la fonction n'est holomorphe sur aucun ouvert.
Compare your argument line by line with the solution above. Verify that every hypothesis used is stated, every limit or derivative is justified, and the final conclusion answers the original problem explicitly.Comparez votre argument ligne par ligne avec la solution ci-dessus. Vérifiez que chaque hypothèse utilisée est énoncée, que chaque limite ou dérivée est justifiée et que la conclusion répond explicitement au problème initial.
At \(0\), \(|h|/h\) equals \(1\) for positive real \(h\) and \(-i\) for positive imaginary \(h\); therefore no derivative exists. For \(z\neq0\), \(u=\sqrt{x^2+y^2}\) is \(C^1\), \(v=0\), and C–R would force \(u_x=u_y=0\), while \(\nabla u=(x,y)/|z|\neq0\). Hence \(|z|\) is nowhere complex differentiable.
En \(0\), \(|h|/h\) a des valeurs limites différentes sur les axes réel et imaginaire. Hors de \(0\), \(\nabla|z|=(x,y)/|z|\neq0\), alors que C–R avec \(v=0\) imposerait un gradient nul. La fonction n'est dérivable nulle part.
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Along real increments, the complex derivative must equal \(u_x+iv_x\). Along purely imaginary increments, division by \(it\) gives \(v_y-iu_y\). Because a complex limit is unique, these are equal. Equating real and imaginary parts yields \(u_x=v_y\) and \(u_y=-v_x\).
Selon les accroissements réels, la dérivée vaut \(u_x+iv_x\). Selon les accroissements imaginaires, elle vaut \(v_y-iu_y\). L'unicité de la limite donne \(u_x=v_y\) et \(u_y=-v_x\).
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We have \(u_x=2x=v_y\) and \(u_y=-2y=-v_x\), and the partial derivatives are continuous. The sufficiency part of Theorem 1.1 therefore gives holomorphicity everywhere. Algebraically, \(x^2-y^2+i2xy=(x+iy)^2=z^2\), so the derivative is \(2z\).
On a \(u_x=2x=v_y\) et \(u_y=-2y=-v_x\), avec des dérivées partielles continues. Le théorème 1.1 donne l'holomorphie. De plus \(f(z)=(x+iy)^2=z^2\), donc \(f'(z)=2z\).
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At \(0\), \(|\overline h^2/h|=|h|\to0\), so \(f'(0)=0\). Away from \(0\), C–R applied to \(u=x^2-y^2\), \(v=-2xy\) requires \(2x=-2x\) and \(-2y=2y\), hence \(x=y=0\), a contradiction. The only differentiability point is \(0\).
En \(0\), le quotient a pour module \(|h|\to0\), donc la dérivée vaut \(0\). Hors de \(0\), C–R impose simultanément \(x=0\) et \(y=0\). Le seul point de dérivabilité est donc l'origine.
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The increment quotient equals \(a+b\overline h/h\). Along \(h=t\), it is \(a+b\); along \(h=it\), it is \(a-b\). Equality of the two directional limits forces \(b=0\). Conversely, if \(b=0\), then \(f(z)=az\) is entire with derivative \(a\).
Le quotient vaut \(a+b\overline h/h\). Il donne \(a+b\) selon l'axe réel et \(a-b\) selon l'axe imaginaire. L'existence de la dérivée impose donc \(b=0\). Réciproquement, \(f(z)=az\) est entière.
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By Theorem 1.2, \(Df(z_0)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\), where \(a+ib=f'(z_0)\). Hence
\[\det Df=a^2+b^2=|a+ib|^2=|f'(z_0)|^2.\]
In particular, the real differential is invertible exactly when \(f'(z_0)\neq0\).
Le théorème 1.2 donne \(Df=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\). Son déterminant vaut \(a^2+b^2=|a+ib|^2=|f'(z_0)|^2\). La différentielle est donc inversible exactement lorsque \(f'(z_0)\neq0\).
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We have \(u_x=e^x\cos y=v_y\) and \(u_y=-e^x\sin y=-v_x\). The components are \(C^1\), so \(e^z\) is holomorphic everywhere. Moreover
\[(e^z)'=u_x+iv_x=e^x\cos y+i e^x\sin y=e^z.\]
Les relations \(u_x=v_y\) et \(u_y=-v_x\) sont vérifiées, avec régularité \(C^1\). Ainsi l'exponentielle est entière et \((e^z)'=u_x+iv_x=e^z\).
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Let \(f_0=f(z_0)\), \(g_0=g(z_0)\). Then
\[\frac{f(z)g(z)-f_0g_0}{z-z_0}=g(z)\frac{f(z)-f_0}{z-z_0}+f_0\frac{g(z)-g_0}{z-z_0}.\]
Complex differentiability implies continuity, so \(g(z)\to g_0\). Taking limits gives \((fg)'(z_0)=g_0f'(z_0)+f_0g'(z_0)\).
En ajoutant et retranchant \(f_0g(z)\), puis en divisant par \(z-z_0\), on obtient une somme de deux quotients différentiels. La continuité de \(g\) donne à la limite \((fg)'=f'g+fg'\).
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At \(z_0\) with \(g_0\neq0\), continuity keeps \(g(z)\neq0\) nearby and
\[\frac{g(z)^{-1}-g_0^{-1}}{z-z_0}=-\frac1{g(z)g_0}\frac{g(z)-g_0}{z-z_0}\to-\frac{g'(z_0)}{g_0^2}.\]
Applying the product rule to \(f\cdot g^{-1}\) gives \((f/g)'=(f'g-fg')/g^2\).
La différence des inverses donne \((1/g)'=-g'/g^2\) lorsque \(g\neq0\). La règle du produit appliquée à \(f(1/g)\) donne alors \((f/g)'=(f'g-fg')/g^2\).
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Differentiability gives
\[g(z_0+h)=w_0+g'(z_0)h+o(|h|),\]
and \(f(w_0+k)=f(w_0)+f'(w_0)k+o(|k|)\). Since \(k=g(z_0+h)-w_0=O(|h|)\), substitution yields
\[f(g(z_0+h))-f(w_0)=f'(w_0)g'(z_0)h+o(|h|).\]
Divide by \(h\) to obtain \((f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)\).
Les développements au premier ordre de \(g\) puis de \(f\) donnent, après composition, \(f(g(z_0+h))-f(g(z_0))=f'(g(z_0))g'(z_0)h+o(|h|)\). La division par \(h\) fournit la règle de chaîne.
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The chain rule gives \((e^{iz})'=ie^{iz}\) and \((e^{-iz})'=-ie^{-iz}\). Hence
\[(\sin z)'=\frac{ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}=\cos z,\qquad (\cos z)'=\frac{ie^{iz}-ie^{-iz}}2=-\sin z.\]
La règle de chaîne donne \((e^{iz})'=ie^{iz}\) et \((e^{-iz})'=-ie^{-iz}\). En substituant dans les définitions exponentielles, on obtient \((\sin z)'=\cos z\) et \((\cos z)'=-\sin z\).
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By definition, \(|e^{x+iy}|=e^x>0\), so the exponential has no zeros. Also
\[e^{z+2\pi i}=e^xe^{i(y+2\pi)}=e^xe^{iy}=e^z.\]
Thus the exponential is \(2\pi i\)-periodic.
On a \(|e^{x+iy}|=e^x>0\), donc l'exponentielle ne s'annule jamais. La périodicité trigonométrique donne \(e^{z+2\pi i}=e^z\).
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Since \(u_{xx}=2\) and \(u_{yy}=-2\), \(\Delta u=0\). The C–R equation \(v_y=u_x=2x\) gives \(v=2xy+C(x)\). Then \(v_x=2y+C'(x)=-u_y=2y\), so \(C'(x)=0\). Therefore every harmonic conjugate is \(v=2xy+C\).
On a \(\Delta u=2-2=0\). L'équation \(v_y=2x\) donne \(v=2xy+C(x)\), puis \(v_x=-u_y\) impose \(C'(x)=0\). Les conjuguées sont donc \(v=2xy+C\).
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Integrating \(v_y=u_x=2x\) gives \(v=2xy+C(x)\). Imposing \(v_x=-u_y=2y\) gives \(C'(x)=0\). Hence the complete family is \(v(x,y)=2xy+C\), \(C\in\mathbb R\), in agreement with uniqueness up to a constant on the connected plane.
L'intégration de \(v_y=2x\) donne \(v=2xy+C(x)\), puis la seconde équation C–R impose \(C'(x)=0\). Toutes les conjuguées sont donc \(2xy+C\).
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For each conjugate \(v_j\), C–R gives \((v_j)_x=-u_y\) and \((v_j)_y=u_x\). Therefore \(w=v_1-v_2\) satisfies \(w_x=w_y=0\). A \(C^1\) function with zero gradient is constant on each connected component. Since the domain is connected, \(w\) is constant.
Les deux systèmes C–R donnent \(\partial_x(v_1-v_2)=\partial_y(v_1-v_2)=0\). Une fonction \(C^1\) de gradient nul est constante sur chaque composante connexe ; le domaine étant connexe, la différence est constante.
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We have \(u_{xx}=2\) and \(u_{yy}=2\), so \(\Delta u=4\) everywhere. If \(u\) were the real part of a holomorphic function on a nonempty open set, Theorem 1.4 would force \(\Delta u=0\) there, a contradiction.
On a \(\Delta u=2+2=4\). Si \(u\) était la partie réelle d'une fonction holomorphe sur un ouvert non vide, le théorème 1.4 imposerait \(\Delta u=0\), contradiction.
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On the slit plane, \(u=\frac12\ln(x^2+y^2)\) and \(v=\operatorname{Arg}z\) are smooth locally. With \(r^2=x^2+y^2\),
\[u_x=\frac{x}{r^2}=v_y,\qquad u_y=\frac{y}{r^2}=-v_x.\]
Thus C–R holds and
\[(\operatorname{Log}z)'=u_x+iv_x=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac1z.\]
Sur le plan fendu, \(u=\frac12\ln(x^2+y^2)\) et \(v=\operatorname{Arg}z\) vérifient C–R. On obtient \((\operatorname{Log}z)'=(x-iy)/(x^2+y^2)=1/z\).
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Assume such \(\Theta\) exists. On the unit circle set \(F(t)=\Theta(e^{it})-t\). Since \(e^{iF(t)}=1\), we have \(F(t)\in2\pi\mathbb Z\). Continuity and connectedness of \([0,2\pi]\) make \(F\) constant, say \(2\pi k\). Then \(\Theta(e^{i0})=2\pi k\) but \(\Theta(e^{i2\pi})=2\pi(k+1)\). Since \(e^{i0}=e^{i2\pi}\) is the same point, this is impossible.
Supposons \(\Theta\) continue. Sur le cercle unité, \(F(t)=\Theta(e^{it})-t\) prend ses valeurs dans \(2\pi\mathbb Z\). Par continuité, \(F\) est constante. On obtient alors deux valeurs de \(\Theta\) qui diffèrent de \(2\pi\) au même point \(e^{i0}=e^{i2\pi}\), contradiction.
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Both the principal logarithm and the exponential are holomorphic on the stated domain. The chain rule gives
\[(z^\alpha)'=e^{\alpha\operatorname{Log}z}\frac{\alpha}{z}=\alpha z^{\alpha-1},\]
where both powers are interpreted with the same principal branch. The branch choice is part of the definition and cannot be changed mid-calculation.
Le logarithme principal et l'exponentielle sont holomorphes sur le domaine. La règle de chaîne donne \((z^\alpha)'=\alpha z^{\alpha-1}\), avec la même branche principale pour toutes les puissances.
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Since \(f'(z)=2z\), the derivative vanishes only at \(0\). Therefore \(z^2\) is conformal at every \(z_0\neq0\). Writing \(2z_0=2|z_0|e^{i\arg z_0}\), the differential scales lengths by \(2|z_0|\) and rotates directions by \(\arg z_0\) modulo \(2\pi\).
Comme \(f'(z)=2z\), la dérivée ne s'annule qu'en \(0\). Pour \(z_0\neq0\), le facteur d'échelle est \(2|z_0|\) et l'angle de rotation est \(\arg z_0\) modulo \(2\pi\).
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We know \((e^z)'=e^z\neq0\), so Theorem 1.6 applies at every point. The polar representation \(e^z=e^xe^{iy}\) shows that the local length scale is \(e^x\) and the local rotation angle is \(y\) modulo \(2\pi\).
Comme \((e^z)'=e^z\neq0\), l'exponentielle est conforme partout. L'écriture \(e^z=e^xe^{iy}\) donne un facteur local \(e^x\) et une rotation d'angle \(y\) modulo \(2\pi\).
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Because \(v\equiv0\), C–R gives \(u_x=v_y=0\) and \(u_y=-v_x=0\). Thus \(\nabla u=0\). A \(C^1\) function with zero gradient is constant on each connected component, so \(u\), and hence \(f\), is constant on the connected domain.
Avec \(v\equiv0\), C–R donne \(u_x=u_y=0\). Le gradient de \(u\) est nul, donc \(u\) est constante sur le domaine connexe. Ainsi \(f\) est constante.
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If \(|f|\equiv0\), then \(f\equiv0\). Otherwise let \(|f|\equiv c>0\), so \(u^2+v^2=c^2\). Differentiation gives \(uu_x+vv_x=0\) and \(uu_y+vv_y=0\). With C–R, \(v_x=-u_y\) and \(v_y=u_x\), hence
\[u u_x-vu_y=0,\qquad v u_x+u u_y=0.\]
The coefficient matrix has determinant \(u^2+v^2=c^2>0\), so \(u_x=u_y=0\), and therefore also \(v_x=v_y=0\). Connectedness implies \(f\) is constant.
Si \(|f|\equiv c>0\), dériver \(u^2+v^2=c^2\) et utiliser C–R donne un système homogène en \(u_x,u_y\) dont le déterminant vaut \(c^2>0\). Ainsi toutes les dérivées premières de \(u\) et \(v\) sont nulles. La connexité donne que \(f\) est constante.
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Translation by \(c\) is irrelevant to the derivative. Exercise 1.10 gives holomorphicity iff \(b=0\). In that case \(f(z)=az+c\) and \(f'(z)=a\). The map is conformal at every point iff \(a\neq0\). If \(a=0\), the map is constant and its differential vanishes.
La translation \(c\) n'intervient pas dans la dérivée. L'holomorphie équivaut à \(b=0\). Alors \(f'(z)=a\), et l'application est conforme partout exactement lorsque \(a\neq0\).
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The reliable implications are:
\[\text{holomorphic near }z_0\Longrightarrow\text{complex differentiable at }z_0.\]
With \(C^2\) components, holomorphicity implies both components are harmonic. Holomorphicity plus \(f'(z_0)\neq0\) implies orientation-preserving conformality at \(z_0\).
False converses require counterexamples. The function \(\overline z^2\) is complex differentiable at \(0\) but not holomorphic near \(0\). Two harmonic functions need not satisfy C–R with one another, so harmonicity of components alone does not imply holomorphicity. The map \(z^2\) is holomorphic at \(0\) but not conformal there because its derivative vanishes. Finally, \(z\mapsto\overline z\) preserves ordinary angles in magnitude but reverses orientation and is not holomorphic. These distinctions prevent pointwise, PDE, and geometric notions from being collapsed into one another.
Les implications sûres sont : holomorphie dans un voisinage \(\Rightarrow\) dérivabilité complexe au point ; sous régularité \(C^2\), holomorphie \(\Rightarrow\) harmonicité des composantes ; holomorphie avec dérivée non nulle \(\Rightarrow\) conformité préservant l'orientation.
Les réciproques sont fausses : \(\overline z^2\) est dérivable en \(0\) sans être holomorphe près de \(0\) ; deux fonctions harmoniques quelconques ne sont pas nécessairement conjuguées ; \(z^2\) est holomorphe mais non conforme en \(0\) ; la conjugaison complexe préserve les angles non orientés mais renverse l'orientation et n'est pas holomorphe.
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Chapter Synthesis
The central fact of the chapter is not merely that a complex derivative is a limit. It is that the same quotient must stabilize under every complex direction. Under real differentiability this is exactly the Cauchy–Riemann constraint, which forces the Jacobian to be complex-linear. From that structure come elementary rigidity results: harmonic components under \(C^2\) regularity, harmonic-conjugate relations, and local conformality where \(f'\neq0\).
Le fait central n’est pas seulement que la dérivée complexe est une limite : le même quotient doit se stabiliser pour toutes les directions complexes. Sous différentiabilité réelle, cela équivaut à la contrainte de Cauchy–Riemann, qui rend le jacobien complexe-linéaire. Cette structure entraîne l’harmonicité des composantes sous régularité \(C^2\), les relations de conjugaison harmonique et la conformité locale lorsque \(f'\neq0\).
Readiness self-assessment
Chapter 2, Contour Integration, is built and will be released in a later public deployment stage. It develops integration around curves, Cauchy’s theorem, and the deeper rigidity results previewed here.Le chapitre 2, Intégration curviligne, est construit et sera publié lors d’une étape ultérieure du déploiement public. Il développe l’intégration le long des courbes, le théorème de Cauchy et les résultats de rigidité plus profonds annoncés ici.