Fourier SeriesSéries de Fourier

Par définition \(\langle e^{inx},e^{imx}\rangle=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\,\overline{e^{imx}}\,dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m)x}\,dx\), puisque \(\overline{e^{imx}}=e^{-imx}\). Posons \(k=n-m\).

Cas \(k=0\). L'intégrande vaut \(1\), donc \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=\frac1{2\pi}\cdot2\pi=1\).

Cas \(k\ne0\). \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}\,dx=\frac1{2\pi}\Big[\frac{e^{ikx}}{ik}\Big]_{-\pi}^{\pi}=\frac1{2\pi}\cdot\frac{e^{ik\pi}-e^{-ik\pi}}{ik}=\frac{\sin(k\pi)}{k\pi}=0\), car \(\sin(k\pi)=0\) pour tout entier \(k\). Ainsi \(\langle e^{inx},e^{imx}\rangle=\delta_{nm}\), et chaque \(\|e^{inx}\|^2=\langle e^{inx},e^{inx}\rangle=1\). \(\blacksquare\)

Remarquons d'abord que \(\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f e^{-inx}\,dx=\langle f,e^{inx}\rangle\).

Constante. \(\hat f(n)=\frac{c}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx=c\,\delta_{n0}\). Donc \(\hat f(0)=c\) et \(\hat f(n)=0\) pour \(n\ne0\) : une constante n'a qu'une moyenne.

Exponentielle. \(\hat g(n)=\langle e^{ikx},e^{inx}\rangle=\delta_{nk}\) par l'Ex 1.1. Ainsi \(\hat g(k)=1\) et \(\hat g(n)=0\) sinon : la suite des coefficients de \(e^{ikx}\) est l'indicatrice de \(\{k\}\). \(\blacksquare\)

Moyenne. Comme \(x\) est impaire, \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx=0\).

Cas \(n\ne0\). Avec \(u=x\), \(dv=e^{-inx}dx\) et \(v=e^{-inx}/(-in)\), l'intégration par parties donne \[\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}\,dx=\Bigl[\frac{x e^{-inx}}{-in}\Bigr]_{-\pi}^{\pi}+\frac1{in}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx.\] La dernière intégrale est nulle. Comme \(e^{\pm in\pi}=(-1)^n\), le terme de bord vaut \(2\pi(-1)^n/(-in)\). Ainsi \[\hat f(n)=\frac1{2\pi}\frac{2\pi(-1)^n}{-in}=\frac{i(-1)^n}{n}.\]

Forme réelle. Puisque \(x\) est réelle et impaire, tous les coefficients cosinus sont nuls et \[b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}.\] Le calcul des coefficients fournit donc la série de Fourier formelle \[f\sim2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).\] L'égalité supplémentaire \(f(x)=2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}\sin(nx)/n\) pour \(-\pi<x<\pi\) exige un théorème de convergence de Fourier tel que celui de Dirichlet ; elle ne découle pas du seul calcul des coefficients. \(\blacksquare\)

Moyenne. \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac1{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3}=\frac{\pi^2}{3}\).

Cas général \(n\ne0\). Avec \(u=x^2\), \(dv=e^{-inx}dx\), \[\int_{-\pi}^{\pi}x^2 e^{-inx}dx=\Big[\frac{x^2 e^{-inx}}{-in}\Big]_{-\pi}^{\pi}+\frac{2}{in}\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}dx.\] Le terme de bord vaut \(\frac{1}{-in}\big(\pi^2 e^{-in\pi}-\pi^2 e^{in\pi}\big)=0\) car \(e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^n\). Par l'Ex 1.3, \(\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}dx=\frac{2\pi(-1)^n}{-in}\), donc \[\int_{-\pi}^{\pi}x^2 e^{-inx}dx=\frac{2}{in}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{-in}=\frac{4\pi(-1)^n}{n^2}.\] En divisant par \(2\pi\), \(\hat f(n)=\frac{2(-1)^n}{n^2}\).

Forme réelle. \(f\) est paire, donc \(a_n=2\hat f(n)=\frac{4(-1)^n}{n^2}\) et \(b_n=0\) ; la série formelle en cosinus associée est donc \[f\sim\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).\] L’égalité ponctuelle avec \(x^2\) requiert ensuite un théorème de convergence de Fourier. \(\blacksquare\)

Réalité. \(\overline{\hat f(n)}=\overline{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f e^{-inx}dx}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\overline f\,e^{inx}dx\). Si \(f\) est réelle, \(\overline f=f\), donc ceci vaut \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f e^{-i(-n)x}dx=\hat f(-n)\).

Parité. Substituons \(y=-x\) (avec \(dx=-dy\), les bornes se rétablissant) : \(\hat f(-n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{inx}dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(-y)e^{-iny}dy\). Si \(f\) est paire, \(f(-y)=f(y)\), d'où \(\hat f(-n)=\hat f(n)\) ; si \(f\) est impaire, \(f(-y)=-f(y)\), d'où \(\hat f(-n)=-\hat f(n)\).

Conséquences. Réelle et paire : \(\hat f(-n)=\overline{\hat f(n)}\) et \(\hat f(-n)=\hat f(n)\), donc \(\hat f(n)=\overline{\hat f(n)}\), soit \(\hat f(n)\in\mathbb R\). Réelle et impaire : \(\hat f(n)=\overline{\hat f(-n)}=\overline{-\hat f(n)}=-\overline{\hat f(n)}\), donc \(\hat f(n)\) est imaginaire pur. \(\blacksquare\)

Moyenne. \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\,dx=\frac{a_0}{2}\) par la définition classique de \(a_0\).

Sens direct. Pour \(n\ge1\), \(e^{-inx}=\cos(nx)-i\sin(nx)\), donc \[\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\big(\cos(nx)-i\sin(nx)\big)dx=\frac1{2\pi}\big(\pi a_n-i\pi b_n\big)=\tfrac12(a_n-ib_n).\] En remplaçant \(n\) par \(-n\), seul le signe de \(\sin\) change, d'où \(\hat f(-n)=\tfrac12(a_n+ib_n)\).

Inversion. En additionnant, \(\hat f(n)+\hat f(-n)=a_n\). En soustrayant, \(\hat f(n)-\hat f(-n)=-ib_n\), donc \(b_n=i\big(\hat f(n)-\hat f(-n)\big)\). Par conséquent la somme partielle symétrique s'écrit \(S_Nf=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N\big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big)\). \(\blacksquare\)

Moyenne. \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=\frac1{2\pi}\cdot2\int_0^\pi x\,dx=\frac1\pi\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac\pi2\).

Cas général \(n\ne0\). Comme \(|x|\) est paire et \(\sin(nx)\) impaire, \(\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|e^{-inx}dx=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac1\pi\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx\). Par intégration par parties, \[\int_0^\pi x\cos(nx)dx=\Big[\frac{x\sin(nx)}{n}\Big]_0^\pi-\frac1n\int_0^\pi\sin(nx)dx=0+\Big[\frac{\cos(nx)}{n^2}\Big]_0^\pi=\frac{(-1)^n-1}{n^2}.\] Ainsi \(\hat f(n)=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\), qui vaut \(0\) pour \(n\) pair et \(-\frac{2}{\pi n^2}\) pour \(n\) impair.

Série réelle. Comme \(a_n=2\hat f(n)\), le calcul des coefficients donne la série formelle \(|x|\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k\ge0}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}\). Puisque le prolongement périodique de \(|x|\) est continu et \(C^1\) par morceaux, le théorème de convergence de Dirichlet (lorsqu'il est invoqué) transforme cette relation formelle en égalité ponctuelle pour tout \(x\). \(\blacksquare\)

Comme \(a-in\ne0\), \[\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(a-in)x}dx=\frac1{2\pi}\Big[\frac{e^{(a-in)x}}{a-in}\Big]_{-\pi}^{\pi}=\frac{e^{(a-in)\pi}-e^{-(a-in)\pi}}{2\pi(a-in)}.\] Or \(e^{(a-in)\pi}=e^{a\pi}e^{-in\pi}=(-1)^n e^{a\pi}\) et \(e^{-(a-in)\pi}=(-1)^n e^{-a\pi}\), donc le numérateur vaut \((-1)^n(e^{a\pi}-e^{-a\pi})=2(-1)^n\sinh(a\pi)\). D'où \[\hat f(n)=\frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a-in)}=\frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi}\cdot\frac{a+in}{a^2+n^2},\] après multiplication par \(\frac{a+in}{a+in}\). Les coefficients décroissent en \(1/n\), ce qui correspond au fait que \(e^{ax}\) est régulière sur \((-\pi,\pi)\) mais présente un saut aux extrémités. \(\blacksquare\)

Développons \[\cos^3 x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})^3}{8}=\frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{8}=\frac18 e^{3ix}+\frac38 e^{ix}+\frac38 e^{-ix}+\frac18 e^{-3ix}.\] Comme un polynôme trigonométrique coïncide avec sa série de Fourier, la lecture des coefficients donne \(\hat f(3)=\hat f(-3)=\frac18\), \(\hat f(1)=\hat f(-1)=\frac38\), et \(\hat f(n)=0\) pour tout autre \(n\). De façon équivalente \(\cos^3x=\frac34\cos x+\frac14\cos 3x\). \(\blacksquare\)

Moyenne. \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_\alpha^\beta1\,dx=\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\), la proportion du cercle couverte.

Cas général \(n\ne0\). \[\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_\alpha^\beta e^{-inx}dx=\frac1{2\pi}\Big[\frac{e^{-inx}}{-in}\Big]_\alpha^\beta=\frac{e^{-in\alpha}-e^{-in\beta}}{2\pi i n}.\]

Majoration. \(|\hat f(n)|=\frac{|e^{-in\alpha}-e^{-in\beta}|}{2\pi|n|}\le\frac{2}{2\pi|n|}=\frac1{\pi|n|}\). Ainsi \(|\hat f(n)|=O(1/|n|)\). Cet ordre est optimal dans la classe des fonctions présentant des sauts, même si certains coefficients peuvent s’annuler ou être beaucoup plus petits le long de sous-suites. \(\blacksquare\)

Moyenne. \(f\) est impaire, donc \(\hat f(0)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sgn}(x)\,dx=0\).

Coefficients réels. Étant impaire, \(a_n=0\), et \(b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin(nx)\,dx=\frac2\pi\Big[\frac{-\cos(nx)}{n}\Big]_0^\pi=\frac2\pi\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}\). Ainsi \(b_n=\frac{4}{\pi n}\) pour \(n\) impair et \(0\) pour \(n\) pair.

Forme complexe. Par l'Ex 1.6, \(\hat f(n)=\tfrac12(a_n-ib_n)=-\tfrac{i}{2}b_n=-\tfrac{i}{2}\cdot\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n}=\frac{1-(-1)^n}{i\pi n}\), en utilisant \(-i=1/i\). La reconstitution donne la série formelle en sinus \[f\sim\frac4\pi\sum_{k\ge0}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}.\] Le théorème de Dirichlet identifie ensuite sa limite ponctuelle : \(f(x)\) aux points de continuité et la moyenne des limites latérales aux discontinuités. \(\blacksquare\)

Translation. Avec \(y=x-\alpha\) (un décalage \(2\pi\)-périodique, donc l'intégrale sur une période est inchangée), \[\hat g(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-\alpha)e^{-inx}dx=\frac1{2\pi}\int f(y)e^{-in(y+\alpha)}dy=e^{-in\alpha}\hat f(n).\] Comme \(|e^{-in\alpha}|=1\), la translation laisse \(|\hat g(n)|=|\hat f(n)|\) inchangé et ne fait que tourner la phase.

Modulation. \[\hat h(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}f(x)e^{-inx}dx=\frac1{2\pi}\int f(x)e^{-i(n-k)x}dx=\hat f(n-k).\] Multiplier par \(e^{ikx}\) décale tout le spectre de \(k\). \(\blacksquare\)

Parseval. Pour \(f\in L^2(\mathbb T)\), la complétude du système orthonormé \(\{e^{inx}\}\) donne \(\|f\|_{L^2}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2\). C'est l'identité que nous invoquons.

Membre de gauche. Pour \(f(x)=x\), \(\|f\|_{L^2}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac1{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3}=\frac{\pi^2}{3}\).

Membre de droite. D'après l'Ex 1.3, \(\hat f(0)=0\) et \(|\hat f(n)|^2=\big|\tfrac{i(-1)^n}{n}\big|^2=\tfrac1{n^2}\) pour \(n\ne0\). Donc \(\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2=\sum_{n\ne0}\tfrac1{n^2}=2\sum_{n\ge1}\tfrac1{n^2}\).

Conclusion. En égalant, \(\frac{\pi^2}{3}=2\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\), donc \(\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). L'égalité des deux membres est précisément Parseval (de façon équivalente, la complétude du système trigonométrique). \(\blacksquare\)

Coefficients. Par linéarité et l'Ex 1.1, \(\hat f(n)=\langle f,e^{inx}\rangle=\sum_{|m|\le N}c_m\langle e^{imx},e^{inx}\rangle=\sum_{|m|\le N}c_m\delta_{mn}\). Cela vaut \(c_n\) lorsque \(|n|\le N\), et \(0\) lorsque \(|n|\gt N\). Ainsi un polynôme trigonométrique est littéralement son propre développement de Fourier.

Norme. En développant le produit scalaire de façon sesquilinéaire (semi-linéaire en la seconde variable), \[\|f\|_{L^2}^2=\Big\langle\sum_m c_m e^{imx},\sum_n c_n e^{inx}\Big\rangle=\sum_{m,n}c_m\overline{c_n}\langle e^{imx},e^{inx}\rangle=\sum_{m,n}c_m\overline{c_n}\,\delta_{mn}=\sum_{|n|\le N}|c_n|^2.\] C'est le théorème de Pythagore fini pour la famille orthonormée, et le cas d'égalité de l'inégalité de Bessel. \(\blacksquare\)

Orthogonalité. Pour \(|m|\le N\), \(\langle f-S_Nf,e^{imx}\rangle=\hat f(m)-\widehat{S_Nf}(m)\). Par l'Ex 1.14, \(\widehat{S_Nf}(m)=\hat f(m)\), donc c'est \(0\). Comme \(S_Nf=\sum_{|m|\le N}\hat f(m)e^{imx}\) est une combinaison linéaire de ces vecteurs, \(\langle f-S_Nf,S_Nf\rangle=\sum_{|m|\le N}\overline{\hat f(m)}\langle f-S_Nf,e^{imx}\rangle=0\).

Pythagore. En écrivant \(f=(f-S_Nf)+S_Nf\) avec des termes orthogonaux, \[\|f\|_{L^2}^2=\|f-S_Nf\|_{L^2}^2+\|S_Nf\|_{L^2}^2=\|f-S_Nf\|_{L^2}^2+\sum_{|n|\le N}|\hat f(n)|^2,\] la dernière égalité par l'Ex 1.14. En réarrangeant, \(\|f-S_Nf\|_{L^2}^2=\|f\|_{L^2}^2-\sum_{|n|\le N}|\hat f(n)|^2\).

Bessel. Le membre de gauche est \(\ge0\), donc \(\sum_{|n|\le N}|\hat f(n)|^2\le\|f\|_{L^2}^2\) pour tout \(N\). En faisant \(N\to\infty\), \(\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2\le\|f\|_{L^2}^2\). \(\blacksquare\)

Décomposons \(f-P=(f-S_Nf)+(S_Nf-P)\). Le second terme \(S_Nf-P=\sum_{|n|\le N}(\hat f(n)-c_n)e^{inx}\) est un polynôme trigonométrique de degré \(\le N\), donc par l'Ex 1.15 il est orthogonal à \(f-S_Nf\). Par Pythagore, \[\|f-P\|_{L^2}^2=\|f-S_Nf\|_{L^2}^2+\|S_Nf-P\|_{L^2}^2=\|f-S_Nf\|_{L^2}^2+\sum_{|n|\le N}|\hat f(n)-c_n|^2,\] en utilisant l'Ex 1.14 pour la dernière norme. Le premier terme ne dépend pas de \(P\) ; le second est \(\ge0\), avec égalité si et seulement si \(c_n=\hat f(n)\) pour tout \(|n|\le N\). Donc \(P=S_Nf\) est l'unique minimiseur, et \(\min_P\|f-P\|_{L^2}^2=\|f\|_{L^2}^2-\sum_{|n|\le N}|\hat f(n)|^2\). \(\blacksquare\)

Membre de gauche. \(\|f\|_{L^2}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx=\frac1{2\pi}\cdot\frac{2\pi^5}{5}=\frac{\pi^4}{5}\).

Membre de droite. D'après l'Ex 1.4, \(\hat f(0)=\frac{\pi^2}{3}\) et \(\hat f(n)=\frac{2(-1)^n}{n^2}\), donc \(|\hat f(0)|^2=\frac{\pi^4}{9}\) et \(|\hat f(n)|^2=\frac{4}{n^4}\) pour \(n\ne0\). D'où \[\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2=\frac{\pi^4}{9}+\sum_{n\ne0}\frac{4}{n^4}=\frac{\pi^4}{9}+8\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}.\]

Résolution. Parseval donne \(\frac{\pi^4}{5}=\frac{\pi^4}{9}+8\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}\), donc \(8\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}=\pi^4\big(\frac15-\frac19\big)=\pi^4\cdot\frac{4}{45}\), et \(\sum_{n\ge1}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}\). \(\blacksquare\)

Par l'inégalité de Bessel (Ex 1.15), \(\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2\le\|f\|_{L^2}^2\lt\infty\), donc la série bilatère à termes positifs \(|\hat f(n)|^2\) converge. Le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers \(0\) ; formellement, les restes \(\sum_{|n|\gt N}|\hat f(n)|^2\to0\), et en particulier chaque terme vérifie \(|\hat f(n)|^2\to0\) lorsque \(|n|\to\infty\). En prenant la racine carrée, \(\hat f(n)\to0\). Le résultat repose entièrement sur l'inégalité de Bessel, c'est-à-dire sur le caractère de carré intégrable de \(f\). (Pour \(f\) seulement intégrable, la même conclusion s'obtient en approchant \(f\) dans \(L^1\) par des polynômes trigonométriques, dont les coefficients s'annulent au-delà d'un degré fixé.) \(\blacksquare\)

Comme la convolution est commutative, \((D_N*f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)D_N(x-y)\,dy\). Insérons \(D_N(x-y)=\sum_{|n|\le N}e^{in(x-y)}\) et échangeons la somme finie et l'intégrale : \[(D_N*f)(x)=\sum_{|n|\le N}e^{inx}\cdot\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}\,dy=\sum_{|n|\le N}\hat f(n)e^{inx}=S_Nf(x).\] De façon équivalente, \(D_N\) a pour coefficients \(\widehat{D_N}(n)=\mathbf 1_{|n|\le N}\), donc par \(\widehat{f*g}=\hat f\hat g\) la convolution tronque le spectre de \(f\) à \(|n|\le N\). \(\blacksquare\)

Intégrons la somme finie terme à terme : \[\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(x)\,dx=\sum_{|n|\le N}\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\,dx=\sum_{|n|\le N}\delta_{n0}=1,\] car par l'Ex 1.1 tout terme avec \(n\ne0\) s'intègre en \(0\) et seul le terme constant \(n=0\) contribue pour \(1\). Ainsi \(D_N\) est un noyau de moyenne de masse totale \(1\) ; c'est précisément ce qui fait que \(S_Nf=D_N*f\) reproduit les constantes. (Notons toutefois que \(D_N\) change de signe, donc n'est pas un noyau positif ; ce défaut est à l'origine des constantes de Lebesgue des Ex 1.26-1.27.) \(\blacksquare\)

Par définition, \[\widehat{f*g}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Big(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)g(x-y)\,dy\Big)e^{-inx}\,dx.\] Comme \(f,g\in L^1(\mathbb T)\), l'intégrale double de \(|f(y)||g(x-y)|\) est finie (elle vaut \((2\pi)\|f\|_{L^1}\|g\|_{L^1}\) à normalisation près), donc le théorème de Fubini autorise l'échange de l'ordre d'intégration. En écrivant \(e^{-inx}=e^{-iny}e^{-in(x-y)}\), \[\widehat{f*g}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}\Big(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x-y)e^{-in(x-y)}\,dx\Big)dy.\] L'intégrale interne, par la substitution \(2\pi\)-périodique \(u=x-y\), vaut \(\hat g(n)\) indépendamment de \(y\). D'où \[\widehat{f*g}(n)=\hat g(n)\cdot\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}\,dy=\hat f(n)\hat g(n).\] Fubini intervient précisément à l'échange des intégrales en \(x\) et en \(y\). \(\blacksquare\)

Premier ordre. Intégrons par parties avec \(u=e^{-inx}\), \(dv=f'(x)dx\) : \[\widehat{f'}(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^{-inx}dx=\frac1{2\pi}\Big[f(x)e^{-inx}\Big]_{-\pi}^{\pi}+\frac{in}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx.\] Le terme de bord vaut \(\frac1{2\pi}\big(f(\pi)e^{-in\pi}-f(-\pi)e^{in\pi}\big)=0\), car \(f(\pi)=f(-\pi)\) (périodicité) et \(e^{-in\pi}=e^{in\pi}=(-1)^n\). Ainsi \(\widehat{f'}(n)=in\,\hat f(n)\). La périodicité est précisément ce qui annule le terme de bord.

Récurrence. Supposons \(\widehat{f^{(k)}}(n)=(in)^k\hat f(n)\) pour toute \(f\in C^k(\mathbb T)\). Si \(f\in C^{k+1}(\mathbb T)\), alors \(f'\in C^k(\mathbb T)\), donc \(\widehat{f^{(k+1)}}(n)=\widehat{(f')^{(k)}}(n)=(in)^k\widehat{f'}(n)=(in)^k(in)\hat f(n)=(in)^{k+1}\hat f(n)\). Par récurrence la formule vaut pour tout \(k\). \(\blacksquare\)

Cas globalement régulier. D’après l’Ex 1.22, \((in)^k\hat f(n)=\widehat{f^{(k)}}(n)\). Ainsi, pour \(n\ne0\), \[|n|^k|\hat f(n)|=|\widehat{f^{(k)}}(n)|\le \|f^{(k)}\|_{L^1}\le \|f^{(k)}\|_\infty,\] donc \(|\hat f(n)|\le \|f^{(k)}\|_\infty |n|^{-k}\). Il s’agit d’une implication à sens unique : la régularité \(C^k\) impose cette décroissance ; la réciproque exige des hypothèses de sommabilité plus fortes, comme dans l’Ex 1.28.

Cas \(C^1\) par morceaux. Soit \(-\pi=x_0<x_1<\cdots<x_m=\pi\) une partition finie telle que \(f\) soit \(C^1\) sur chaque sous-intervalle ouvert, avec limites unilatérales et dérivée par morceaux intégrable. Une intégration par parties sur chaque morceau donne \[2\pi\hat f(n)=\frac1{in}\sum_{j=1}^{m-1}\bigl(f(x_j^+)-f(x_j^-)\bigr)e^{-inx_j}+\frac1{in}\int_{-\pi}^{\pi}f'_{\rm pm}(x)e^{-inx}\,dx,\] avec le saut aux extrémités compris périodiquement. La somme finie des sauts et la norme \(L^1\) de \(f'_{\rm pm}\) sont bornées indépendamment de \(n\), donc \(\hat f(n)=O(1/|n|)\). Si tous les sauts sont nuls, seul subsiste le terme de dérivée ; en présence d’un saut, une contribution en \(O(1/n)\) est en général inévitable. \(\blacksquare\)

Polarisation. En admettant l’identité de Parseval pour la norme, on applique l’identité de polarisation complexe à \(f\) et \(g\). Comme l’application de Fourier est linéaire et préserve les normes, on obtient \[\langle f,g\rangle_{L^2}=\sum_{n\in\mathbb Z}\hat f(n)\overline{\hat g(n)}.\] Ainsi \(\mathcal F:f\mapsto(\hat f(n))\) est un plongement linéaire isométrique dans \(\ell^2(\mathbb Z)\).

Surjectivité de Riesz-Fischer. Soit \(c=(c_n)\in\ell^2(\mathbb Z)\) et posons \(p_N=\sum_{|n|\le N}c_ne^{inx}\). Par orthonormalité, \[\|p_M-p_N\|_{L^2}^2=\sum_{N<|n|\le M}|c_n|^2\to0.\] Comme \(L^2(\mathbb T)\) est complet, \(p_N\to f\) dans \(L^2\) pour une certaine \(f\). Pour \(k\) fixé, la continuité du produit scalaire donne \[\hat f(k)=\langle f,e_k\rangle=\lim_{N\to\infty}\langle p_N,e_k\rangle=c_k.\] Chaque \(c\in\ell^2\) est donc la suite des coefficients de Fourier d’une fonction \(f\in L^2\). Avec Parseval, \(\mathcal F\) est unitaire de \(L^2(\mathbb T)\) sur \(\ell^2(\mathbb Z)\). \(\blacksquare\)

Cas \(x\in2\pi\mathbb Z\). Chaque terme \(e^{inx}=1\), donc \(D_N(x)=2N+1\) (le nombre de termes), en accord avec la limite \(\lim_{x\to0}\frac{\sin((N+\frac12)x)}{\sin(x/2)}=\frac{N+\frac12}{1/2}=2N+1\).

Cas \(x\notin2\pi\mathbb Z\). Factorisons le terme le plus bas : \[D_N(x)=\sum_{n=-N}^{N}e^{inx}=e^{-iNx}\sum_{k=0}^{2N}e^{ikx}=e^{-iNx}\cdot\frac{e^{i(2N+1)x}-1}{e^{ix}-1},\] la somme géométrique étant valable car \(e^{ix}\ne1\). Multiplions numérateur et dénominateur par \(e^{-ix/2}\) : \[D_N(x)=\frac{e^{-iNx}\big(e^{i(2N+1)x}-1\big)e^{-ix/2}}{(e^{ix}-1)e^{-ix/2}}=\frac{e^{i(N+\frac12)x}-e^{-i(N+\frac12)x}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}.\] En utilisant \(e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta\) au numérateur (avec \(\theta=(N+\tfrac12)x\)) et au dénominateur (avec \(\theta=x/2\)), \[D_N(x)=\frac{2i\sin\big((N+\tfrac12)x\big)}{2i\sin(x/2)}=\frac{\sin\big((N+\tfrac12)x\big)}{\sin(x/2)}.\quad\blacksquare\]

Comme \(D_N\) est paire et \(\sin(x/2)\gt0\) sur \((0,\pi]\), \[L_N=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Big|\frac{\sin((N+\frac12)x)}{\sin(x/2)}\Big|dx=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{|\sin((N+\frac12)x)|}{\sin(x/2)}\,dx.\] Sur \([0,\pi]\) on a \(0\lt\sin(x/2)\le x/2\), donc \(\frac1{\sin(x/2)}\ge\frac2x\), d'où \[L_N\ge\frac1\pi\int_0^\pi\frac{2|\sin((N+\frac12)x)|}{x}\,dx=\frac2\pi\int_0^\pi\frac{|\sin((N+\frac12)x)|}{x}\,dx.\] En substituant \(t=(N+\tfrac12)x\), \(dt=(N+\tfrac12)dx\), \(\frac{dx}{x}=\frac{dt}{t}\), la borne supérieure devient \((N+\tfrac12)\pi\) et \[L_N\ge\frac2\pi\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt\ge\frac2{\pi}\int_{\pi}^{(N+\frac12)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt\ge\frac2{\pi^2}\int_\pi^{(N+\frac12)\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt,\] la dernière étape (volontairement lâche) préservant une constante propre. Sur chaque période \([k\pi,(k+1)\pi]\), \(\int|\sin t|=2\), donc \(\int_\pi^{N\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\ge\sum_{k=1}^{N-1}\frac{2}{(k+1)\pi}\ge\frac{2}{\pi}\big(\log N-1\big)\to\infty\). Ainsi \(L_N\ge c\log N\to\infty\) : les noyaux de Dirichlet ne sont pas uniformément bornés dans \(L^1\). \(\blacksquare\)

Isoler la singularité. D'après l'Ex 1.26, \(L_N=\frac1\pi\int_0^\pi|\sin((N+\tfrac12)x)|\big(\frac1{\sin(x/2)}\big)dx\). Écrivons \(\frac1{\sin(x/2)}=\frac2x+\varphi(x)\), où \(\varphi(x)=\frac1{\sin(x/2)}-\frac2x\). Comme \(\sin(x/2)=\frac x2-\frac{x^3}{48}+\cdots\), \(\varphi\) se prolonge continûment en \(x=0\) et est bornée sur \([0,\pi]\), disons \(|\varphi|\le C\). Sa contribution est \(\big|\frac1\pi\int_0^\pi|\sin(\cdots)|\varphi(x)dx\big|\le\frac{C}{\pi}\cdot\pi=C=O(1)\).

Terme principal. Ainsi \(L_N=\frac2\pi\int_0^\pi\frac{|\sin((N+\frac12)x)|}{x}dx+O(1)\). En substituant \(t=(N+\tfrac12)x\), le terme principal est \(\frac2\pi\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\). L'estimation standard \(\int_0^A\frac{|\sin t|}{t}dt=\frac2\pi\log A+O(1)\) (chaque période contribue \(\approx\frac2{k\pi}\), la somme donnant \(\frac2\pi\log A\)) donne, avec \(A=(N+\tfrac12)\pi\) et \(\log A=\log N+O(1)\), \[L_N=\frac2\pi\Big(\frac2\pi\log N+O(1)\Big)+O(1)=\frac{4}{\pi^2}\log N+O(1).\] Donc \(L_N\sim\frac4{\pi^2}\log N\).

Norme d'opérateur. Comme application \(C(\mathbb T)\to C(\mathbb T)\), \(S_Nf=D_N*f\), et l'inégalité de convolution donne \(\|S_N\|\le L_N\). Pour l'inégalité inverse, à un point fixé, des fonctions continues bornées par \(1\) peuvent approcher la phase (ou le signe, puisque \(D_N\) est réel) de \(D_N(-y)\) en dehors de ses zéros, qui sont en nombre fini ; on obtient ainsi \(\|S_N\|=L_N\). Posons maintenant \(T_Nf=(S_Nf)(0)\). On a également \(\|T_N\|=L_N\). Comme \(\sup_N\|T_N\|=\infty\), le principe de Banach-Steinhaus fournit une fonction \(f\in C(\mathbb T)\) telle que \(\sup_N|S_Nf(0)|=\infty\). Les sommes partielles de Fourier de cette fonction continue divergent donc au point fixe \(0\). \(\blacksquare\)

Pour \(0\le j\le k\), définissons \[g_j(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}(in)^j c_ne^{inx}.\] Comme \(|n|^j\le 1+|n|^k\), l’hypothèse donne \(\sum_n |n|^j|c_n|<\infty\). Le test de Weierstrass assure donc la convergence uniforme de chaque \(g_j\), qui est ainsi continue.

Posons \(p_N(x)=\sum_{|n|\le N}c_ne^{inx}\). Alors \(p_N\to g_0\) uniformément et \(p_N'\to g_1\) uniformément. Le théorème standard de dérivation des suites uniformément convergentes donne \(g_0'=g_1\). En répétant l’argument, \(g_{j-1}'=g_j\) pour \(1\le j\le k\). Donc \(f:=g_0\in C^k(\mathbb T)\) et \[f^{(k)}(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}(in)^k c_ne^{inx}.\] Il s’agit d’une condition suffisante de type \(\ell^1\) pondéré, plus forte qu’une simple décroissance \(O(|n|^{-k})\). \(\blacksquare\)

Les moyennes de Fejér s'annulent. La \(N\)-ième moyenne de Fejér est la moyenne de Cesàro des sommes partielles, \(\sigma_Nf=\frac1{N+1}\sum_{m=0}^{N}S_mf=\sum_{|n|\le N}\Big(1-\frac{|n|}{N+1}\Big)\hat f(n)e^{inx}=K_N*f\), un polynôme trigonométrique dont les coefficients sont les \(\hat f(n)\) pondérés par les facteurs triangulaires. Par hypothèse chaque \(\hat f(n)=0\), donc \(\sigma_Nf\equiv0\) pour tout \(N\).

Convergence uniforme. Le noyau de Fejér vérifie \(K_N\ge0\), \(\frac1{2\pi}\int K_N=1\), et \(K_N\) se concentre en \(0\), donc c'est une identité approchée ; par conséquent, pour \(f\) continue, \(\sigma_Nf\to f\) uniformément sur \(\mathbb T\) (théorème de Fejér). C'est là qu'intervient la continuité de \(f\).

Conclusion. En combinant, \(f=\lim_N\sigma_Nf=\lim_N 0=0\) uniformément, donc \(f\equiv0\). Par conséquent deux fonctions continues ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales, et l'application \(f\mapsto(\hat f(n))_n\) est injective sur \(C(\mathbb T)\). \(\blacksquare\)

Parseval. Comme \(f=\operatorname{sgn}\) prend les valeurs \(\pm1\), \(|f(x)|^2=1\) presque partout, donc \(\|f\|_{L^2}^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=1\). D'après l'Ex 1.11, \(\hat f(n)=\frac{1-(-1)^n}{i\pi n}\), qui s'annule pour \(n\) pair et vérifie \(|\hat f(n)|^2=\frac{4}{\pi^2 n^2}\) pour \(n\) impair. Parseval donne \[1=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|^2=\sum_{n\text{ impair}}\frac{4}{\pi^2 n^2}=\frac{4}{\pi^2}\cdot2\sum_{k\ge0}\frac1{(2k+1)^2}=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k\ge0}\frac1{(2k+1)^2},\] où le facteur \(2\) tient compte de \(n=\pm(2k+1)\). En résolvant, \(\sum_{k\ge0}\frac1{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\).

Retour à \(\sum1/n^2\). Séparons selon la parité : \(S=\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}=\sum_{k\ge0}\frac1{(2k+1)^2}+\sum_{k\ge1}\frac1{(2k)^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac14 S\). Donc \(\frac34 S=\frac{\pi^2}{8}\), soit \(S=\frac{\pi^2}{6}\), en accord avec l'Ex 1.13. L'ensemble des égalités repose sur Parseval, c'est-à-dire la complétude de \(\{e^{inx}\}\). \(\blacksquare\)