Weak DerivativesDérivées faibles
The theory of Sobolev spaces and partial differential equations rests on a single reinterpretation of what it means to differentiate. Classical derivatives demand a pointwise smoothness that the solutions of real equations often lack; the weak derivative replaces that demand with an integration-by-parts identity tested against smooth, compactly supported functions. This chapter builds that notion from the ground up: multi-index notation and test functions, the definition of the weak derivative and the sign convention it carries, its uniqueness through the fundamental lemma of the calculus of variations, its consistency with the classical derivative, the one-dimensional characterisation through locally absolutely continuous representatives, and mollification as the standard bridge between rough and smooth functions. The worked examples of \(|x|\) and the Heaviside step fix exactly where weak differentiation succeeds and where it fails.La théorie des espaces de Sobolev et des équations aux dérivées partielles repose sur une seule réinterprétation de ce que signifie dériver. Les dérivées classiques exigent une régularité ponctuelle que les solutions des équations réelles n'ont souvent pas ; la dérivée faible remplace cette exigence par une identité d'intégration par parties testée contre des fonctions lisses à support compact. Ce chapitre construit cette notion depuis la base : notation multi-indicielle et fonctions test, définition de la dérivée faible et la convention de signe qu'elle porte, son unicité par le lemme fondamental du calcul des variations, sa cohérence avec la dérivée classique, la caractérisation unidimensionnelle par les représentants localement absolument continus, et la régularisation comme pont standard entre fonctions rugueuses et lisses. Les exemples de \(|x|\) et de l'échelon de Heaviside fixent exactement où la dérivation faible réussit et où elle échoue.
Visual Investigations
Objectives & Prerequisites
- Specific objective 1. Manipulate multi-index notation fluently: read \(|\alpha|\), \(\alpha!\), \(x^\alpha\), and the operator \(D^\alpha\), and translate a partial differential expression into and out of multi-index form.Objectif spécifique 1. Manipuler couramment la notation multi-indicielle : lire \(|\alpha|\), \(\alpha!\), \(x^\alpha\) et l'opérateur \(D^\alpha\), et traduire une expression aux dérivées partielles vers la forme multi-indicielle et inversement.
- Specific objective 2. State the definition of the weak derivative through the integration-by-parts identity against test functions \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), and explain why local integrability makes every term well defined.Objectif spécifique 2. Énoncer la définition de la dérivée faible via l'identité d'intégration par parties contre des fonctions test \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), et expliquer pourquoi l'intégrabilité locale rend chaque terme bien défini.
- Specific objective 3. Prove that the weak derivative is unique up to almost-everywhere equality, using the fundamental lemma of the calculus of variations.Objectif spécifique 3. Prouver que la dérivée faible est unique à égalité presque partout près, à l'aide du lemme fondamental du calcul des variations.
- Specific objective 4. Establish consistency with the classical derivative for \(C^{|\alpha|}\) functions, and use linearity and the Leibniz rule to compute weak derivatives of combinations.Objectif spécifique 4. Établir la cohérence avec la dérivée classique pour les fonctions \(C^{|\alpha|}\), et utiliser la linéarité et la règle de Leibniz pour calculer les dérivées faibles de combinaisons.
- Specific objective 5. In one dimension, characterise weak differentiability through the existence of a locally absolutely continuous representative, and distinguish the role of continuity from the separate requirement that the piecewise derivative be locally integrable.Objectif spécifique 5. En dimension un, caractériser la dérivabilité faible par l'existence d'un représentant localement absolument continu, et distinguer le rôle de la continuité de l'exigence distincte d'intégrabilité locale de la dérivée par morceaux.
- Specific objective 6. Use mollification to smooth locally integrable functions, and exploit the fact that mollification commutes with weak differentiation and converges in \(L^p_{loc}\).Objectif spécifique 6. Utiliser la régularisation pour lisser les fonctions localement intégrables, et exploiter le fait que la régularisation commute avec la dérivation faible et converge dans \(L^p_{loc}\).
- Lebesgue integration: measurable functions, the spaces \(L^p\) and \(L^1_{loc}\), dominated convergence, and Fubini's theorem.Intégration de Lebesgue : fonctions mesurables, espaces \(L^p\) et \(L^1_{loc}\), convergence dominée et théorème de Fubini.
- Integration by parts and the divergence theorem for classically differentiable functions on nice domains.Intégration par parties et théorème de la divergence pour des fonctions classiquement dérivables sur des domaines réguliers.
- Convolution of functions, its basic estimates (Young's inequality), and continuity of translation in \(L^p\).Produit de convolution, ses estimations de base (inégalité de Young) et continuité de la translation dans \(L^p\).
- Absolute continuity on an interval and the fundamental theorem of calculus for the Lebesgue integral.Absolue continuité sur un intervalle et théorème fondamental de l'analyse pour l'intégrale de Lebesgue.
- Testing an identity against arbitrary \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) and moving derivatives onto the test function.Tester une identité contre une \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) arbitraire et déplacer les dérivées sur la fonction test.
- Mollification: convolving with \(\eta_\varepsilon\), differentiating under the integral, and passing to the limit \(\varepsilon\to 0\).Régularisation : convoluer avec \(\eta_\varepsilon\), dériver sous l'intégrale et passer à la limite \(\varepsilon\to 0\).
- The fundamental lemma of the calculus of variations to pass from "annihilates all test functions" to "vanishes a.e."Le lemme fondamental du calcul des variations pour passer de « annule toutes les fonctions test » à « nulle p.p. »
- Integration by parts on subintervals with cancellation of boundary terms at points of continuity.Intégration par parties sur des sous-intervalles avec annulation des termes de bord aux points de continuité.
Diagnostic questions
Where this chapter sits
Later dependence. The weak derivative is the single construction on which the rest of the course rests. The spaces \(W^{k,p}(\Omega)\) of Chapter 2 are defined by requiring the weak derivatives \(D^\alpha u\), \(|\alpha|\le k\), to lie in \(L^p\); mollification returns in Chapter 3 to prove that smooth functions are dense in Sobolev spaces. The absolute-continuity characterisation underlies the trace and extension theorems of Chapter 4, and the Leibniz rule is the tool behind localisation and partitions of unity used throughout. Ultimately, the weak formulation of elliptic boundary-value problems in Chapter 7 replaces classical derivatives by weak ones so that, under the appropriate boundary conditions and coercivity hypotheses, the Lax-Milgram theorem can deliver solutions in the relevant energy space, for example \(H_0^1(\Omega)\) for homogeneous Dirichlet data; every later existence and regularity result traces back to the definition established here.Dépendance ultérieure. La dérivée faible est l'unique construction sur laquelle repose le reste du cours. Les espaces \(W^{k,p}(\Omega)\) du chapitre 2 sont définis en exigeant que les dérivées faibles \(D^\alpha u\), \(|\alpha|\le k\), appartiennent à \(L^p\) ; la régularisation reparaît au chapitre 3 pour prouver que les fonctions régulières sont denses dans les espaces de Sobolev. La caractérisation par l'absolue continuité sous-tend les théorèmes de trace et de prolongement du chapitre 4, et la règle de Leibniz est l'outil derrière la localisation et les partitions de l'unité utilisées partout. Enfin, la formulation faible des problèmes aux limites elliptiques au chapitre 7 remplace les dérivées classiques par des dérivées faibles afin que, sous les conditions aux limites et les hypothèses de coercivité appropriées, le théorème de Lax-Milgram fournisse des solutions dans l'espace d'énergie pertinent, par exemple \(H_0^1(\Omega)\) pour des données de Dirichlet homogènes ; tout résultat ultérieur d'existence et de régularité remonte à la définition établie ici.
Core Definitions
A multi-index is a tuple \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb N_0^n\) of non-negative integers. Its order is the integer
\[|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\]
and one writes \(\alpha!=\alpha_1!\,\alpha_2!\cdots\alpha_n!\) and \(x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\) for \(x\in\mathbb R^n\). The associated partial differential operator of order \(|\alpha|\) is
\[D^\alpha=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\,\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}},\]
with the convention \(D^{0}u=u\) for the null multi-index. When \(\alpha=e_i=(0,\dots,1,\dots,0)\) with the \(1\) in position \(i\), one abbreviates \(D^{e_i}=D_i=\partial/\partial x_i\).
Un multi-indice est un uplet \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb N_0^n\) d'entiers positifs ou nuls. Son ordre est l'entier
\[|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n,\]
et l'on note \(\alpha!=\alpha_1!\,\alpha_2!\cdots\alpha_n!\) et \(x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\) pour \(x\in\mathbb R^n\). L'opérateur aux dérivées partielles associé, d'ordre \(|\alpha|\), est
\[D^\alpha=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\,\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}},\]
avec la convention \(D^{0}u=u\) pour le multi-indice nul. Lorsque \(\alpha=e_i=(0,\dots,1,\dots,0)\) avec le \(1\) en position \(i\), on abrège \(D^{e_i}=D_i=\partial/\partial x_i\).
In \(\mathbb R^3\), take \(\alpha=(2,1,0)\) and \(u(x)=x_1^3x_2^2\). Then \(|\alpha|=3\), \(\alpha!=2!1!0!=2\), and
\[D^\alpha u=\partial_1^2\partial_2(x_1^3x_2^2)=\partial_1^2(2x_1^3x_2)=12x_1x_2.\]
This example separates three pieces of information that students often conflate: \(|\alpha|\) counts the total derivative order, \(\alpha!\) is a product of factorials, and \(D^\alpha\) tells exactly how many derivatives are taken in each coordinate.
Dans \(\mathbb R^3\), prenons \(\alpha=(2,1,0)\) et \(u(x)=x_1^3x_2^2\). Alors \(|\alpha|=3\), \(\alpha!=2!1!0!=2\), et
\[D^\alpha u=\partial_1^2\partial_2(x_1^3x_2^2)=\partial_1^2(2x_1^3x_2)=12x_1x_2.\]
Cet exemple distingue trois informations souvent confondues : \(|\alpha|\) compte l’ordre total de dérivation, \(\alpha!\) est un produit de factorielles, et \(D^\alpha\) indique exactement combien de dérivées sont prises dans chaque coordonnée.
Let \(\Omega\subseteq\mathbb R^n\) be open. The support of a function \(\varphi:\Omega\to\mathbb R\) is the closed set
\[\operatorname{supp}\varphi=\overline{\{x\in\Omega:\varphi(x)\ne 0\}},\]
the closure being taken in \(\Omega\). A test function on \(\Omega\) is a function \(\varphi\in C^\infty(\Omega)\) whose support is a compact subset of \(\Omega\). The set of all test functions is the vector space
\[C_c^\infty(\Omega)=\{\varphi\in C^\infty(\Omega):\operatorname{supp}\varphi\subset\subset\Omega\},\]
also denoted \(\mathcal D(\Omega)\). The condition \(\operatorname{supp}\varphi\subset\subset\Omega\) means the support is compact and contained in \(\Omega\); in particular \(\varphi\) and all its derivatives vanish near \(\partial\Omega\).
Soit \(\Omega\subseteq\mathbb R^n\) un ouvert. Le support d'une fonction \(\varphi:\Omega\to\mathbb R\) est l'ensemble fermé
\[\operatorname{supp}\varphi=\overline{\{x\in\Omega:\varphi(x)\ne 0\}},\]
l'adhérence étant prise dans \(\Omega\). Une fonction test sur \(\Omega\) est une fonction \(\varphi\in C^\infty(\Omega)\) dont le support est une partie compacte de \(\Omega\). L'ensemble des fonctions test est l'espace vectoriel
\[C_c^\infty(\Omega)=\{\varphi\in C^\infty(\Omega):\operatorname{supp}\varphi\subset\subset\Omega\},\]
aussi noté \(\mathcal D(\Omega)\). La condition \(\operatorname{supp}\varphi\subset\subset\Omega\) signifie que le support est compact et contenu dans \(\Omega\) ; en particulier \(\varphi\) et toutes ses dérivées s'annulent au voisinage de \(\partial\Omega\).
Let \(\Omega=(-2,2)\) and define
\[\varphi(x)=\begin{cases}\exp\!\left(-\dfrac{1}{1-x^2}\right),&|x|<1,\\0,&|x|\ge1.\end{cases}\]
This bump is \(C^\infty\), its support is \([-1,1]\), and \([-1,1]\subset\subset(-2,2)\). Hence \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). The compact containment is what guarantees that \(\varphi\) and all its derivatives vanish in a neighbourhood of the boundary points \(-2\) and \(2\).
Soit \(\Omega=(-2,2)\) et définissons
\[\varphi(x)=\begin{cases}\exp\!\left(-\dfrac{1}{1-x^2}\right),&|x|<1,\\0,&|x|\ge1.\end{cases}\]
Cette bosse est \(C^\infty\), son support est \([-1,1]\), et \([-1,1]\subset\subset(-2,2)\). Ainsi \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). L’inclusion compacte garantit que \(\varphi\) et toutes ses dérivées s’annulent dans un voisinage des points de bord \(-2\) et \(2\).
A measurable function \(u:\Omega\to\mathbb R\) is locally integrable if
\[\int_K|u|\,dx<\infty\qquad\text{for every compact }K\subset\Omega.\]
The set of (equivalence classes modulo equality almost everywhere of) such functions is denoted \(L^1_{loc}(\Omega)\). Every \(L^p(\Omega)\) with \(1\le p\le\infty\), and in particular every continuous function, lies in \(L^1_{loc}(\Omega)\). Local integrability is exactly what is needed for the integrals \(\int_\Omega u\,\varphi\,dx\) against test functions \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) to be absolutely convergent, since \(\varphi\) is bounded with compact support.
Une fonction mesurable \(u:\Omega\to\mathbb R\) est localement intégrable si
\[\int_K|u|\,dx<\infty\qquad\text{pour tout compact }K\subset\Omega.\]
L'ensemble des (classes d'équivalence modulo l'égalité presque partout de) telles fonctions est noté \(L^1_{loc}(\Omega)\). Tout \(L^p(\Omega)\) avec \(1\le p\le\infty\), et en particulier toute fonction continue, appartient à \(L^1_{loc}(\Omega)\). L'intégrabilité locale est précisément ce qu'il faut pour que les intégrales \(\int_\Omega u\,\varphi\,dx\) contre des fonctions test \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) soient absolument convergentes, puisque \(\varphi\) est bornée et à support compact.
On \((-1,1)\), the function \(u(x)=|x|^{-1/2}\) is unbounded at the origin, but it is locally integrable because
\[\int_{-r}^{r}|x|^{-1/2}\,dx=4\sqrt r<\infty\qquad(0<r<1).\]
Thus local integrability does not mean boundedness or continuity. By contrast, \(1/|x|\) is not locally integrable at \(0\), since \(\int_0^r x^{-1}dx=\infty\).
Sur \((-1,1)\), la fonction \(u(x)=|x|^{-1/2}\) est non bornée à l’origine, mais elle est localement intégrable car
\[\int_{-r}^{r}|x|^{-1/2}\,dx=4\sqrt r<\infty\qquad(0<r<1).\]
L’intégrabilité locale ne signifie donc ni bornitude ni continuité. En revanche, \(1/|x|\) n’est pas localement intégrable en \(0\), puisque \(\int_0^r x^{-1}dx=\infty\).
Let \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) and let \(\alpha\) be a multi-index. A function \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) is an \(L^1_{loc}\) weak \(\alpha\)-th derivative of \(u\), written \(g=D^\alpha u\), if it represents the distributional derivative through the identity
\[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\qquad\text{for all }\varphi\in C_c^\infty(\Omega).\]
The identity is modelled on the classical integration-by-parts formula, in which \(|\alpha|\) integrations move the derivatives off \(u\) and onto the test function, each contributing a factor \(-1\), while the boundary terms disappear because \(\varphi\) has compact support. The definition transfers derivatives to the smooth \(\varphi\), so it remains meaningful even when \(u\) is not classically differentiable everywhere, for example at corners or on exceptional sets. The distributional derivative \(D^\alpha u\) itself always exists as a distribution for \(u\in L^1_{loc}\); it is a weak derivative in the Sobolev sense used here only when that distribution can be represented by a function \(g\in L^1_{loc}\). When such a \(g\) exists we say \(u\) is weakly \(\alpha\)-differentiable.
Soit \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) et soit \(\alpha\) un multi-indice. Une fonction \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) est une dérivée faible d'ordre \(\alpha\) représentée dans \(L^1_{loc}\) de \(u\), notée \(g=D^\alpha u\), si elle représente la dérivée distributionnelle par l'identité
\[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\qquad\text{pour toute }\varphi\in C_c^\infty(\Omega).\]
Cette identité est calquée sur la formule classique d'intégration par parties, où \(|\alpha|\) intégrations font passer les dérivées de \(u\) vers la fonction test, chacune apportant un facteur \(-1\), tandis que les termes de bord disparaissent car \(\varphi\) est à support compact. La définition transfère les dérivées sur la fonction régulière \(\varphi\), de sorte qu'elle reste pertinente même lorsque \(u\) n'est pas classiquement dérivable partout, par exemple aux points anguleux ou sur des ensembles exceptionnels. La dérivée distributionnelle \(D^\alpha u\) existe toujours comme distribution lorsque \(u\in L^1_{loc}\) ; elle constitue une dérivée faible au sens de Sobolev utilisé ici seulement lorsque cette distribution est représentable par une fonction \(g\in L^1_{loc}\). Lorsqu'un tel \(g\) existe, on dit que \(u\) est faiblement \(\alpha\)-dérivable.
Take \(u(x)=|x|\) on \((-1,1)\) and \(g(x)=\operatorname{sgn}(x)\). For every test function \(\varphi\), split the integral at \(0\) and integrate by parts on each side:
\[\int_{-1}^{1}|x|\varphi'(x)\,dx=-\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\varphi(x)\,dx.\]
The corner causes the classical derivative to fail at one point, but it creates no Dirac mass because \(u\) itself is continuous. Therefore \(D u=\operatorname{sgn}\) in the weak sense.
Prenons \(u(x)=|x|\) sur \((-1,1)\) et \(g(x)=\operatorname{sgn}(x)\). Pour toute fonction test \(\varphi\), on coupe l’intégrale en \(0\) et on intègre par parties de chaque côté :
\[\int_{-1}^{1}|x|\varphi'(x)\,dx=-\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\varphi(x)\,dx.\]
Le point anguleux fait échouer la dérivée classique en un point, mais il ne crée aucune masse de Dirac puisque \(u\) reste continue. Ainsi \(D u=\operatorname{sgn}\) au sens faible.
If the first-order weak derivatives \(D_1u,\dots,D_nu\) all exist in \(L^1_{loc}(\Omega)\), the weak gradient of \(u\) is the vector field
\[\nabla u=(D_1u,\dots,D_nu).\]
More generally, \(u\) is \(k\)-times weakly differentiable (for an integer \(k\ge 1\)) if the weak derivative \(D^\alpha u\in L^1_{loc}(\Omega)\) exists for every multi-index \(\alpha\) with \(|\alpha|\le k\). The collection \((D^\alpha u)_{|\alpha|\le k}\) records all weak derivatives up to order \(k\); these are the quantities whose \(L^p\)-integrability defines the Sobolev spaces \(W^{k,p}(\Omega)\) of Chapter 2.
Si les dérivées faibles du premier ordre \(D_1u,\dots,D_nu\) existent toutes dans \(L^1_{loc}(\Omega)\), le gradient faible de \(u\) est le champ de vecteurs
\[\nabla u=(D_1u,\dots,D_nu).\]
Plus généralement, \(u\) est \(k\) fois faiblement dérivable (pour un entier \(k\ge 1\)) si la dérivée faible \(D^\alpha u\in L^1_{loc}(\Omega)\) existe pour tout multi-indice \(\alpha\) tel que \(|\alpha|\le k\). La famille \((D^\alpha u)_{|\alpha|\le k}\) rassemble toutes les dérivées faibles jusqu'à l'ordre \(k\) ; ce sont les quantités dont l'intégrabilité \(L^p\) définit les espaces de Sobolev \(W^{k,p}(\Omega)\) du chapitre 2.
On \(\mathbb R^2\), let \(u(x,y)=|x|+y^2\). The first term has weak \(x\)-derivative \(\operatorname{sgn}(x)\), while the second term is smooth. Hence
\[\nabla u(x,y)=\bigl(\operatorname{sgn}(x),2y\bigr)\quad\text{a.e.}\]
The value assigned to \(\operatorname{sgn}(0)\) is irrelevant because weak derivatives are defined only up to equality almost everywhere.
Sur \(\mathbb R^2\), soit \(u(x,y)=|x|+y^2\). Le premier terme a pour dérivée faible en \(x\) la fonction \(\operatorname{sgn}(x)\), tandis que le second terme est régulier. Ainsi
\[\nabla u(x,y)=\bigl(\operatorname{sgn}(x),2y\bigr)\quad\text{p.p.}\]
La valeur attribuée à \(\operatorname{sgn}(0)\) est sans importance, car les dérivées faibles ne sont définies qu’à égalité presque partout près.
Let \(I=(a,b)\subseteq\mathbb R\) be an open interval. A function \(\tilde u:I\to\mathbb R\) is locally absolutely continuous, written \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\), if it is absolutely continuous on every compact subinterval of \(I\). Equivalently, there exist \(w\in L^1_{loc}(I)\) and a base point \(x_0\in I\) such that
\[\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^{x}w(t)\,dt\qquad\text{for all }x\in I.\]
Such a \(\tilde u\) is continuous, differentiable almost everywhere with \(\tilde u'=w\) a.e., and it satisfies integration by parts on every compact subinterval of \(I\). We say \(u\in L^1_{loc}(I)\) has a locally absolutely continuous representative if \(u=\tilde u\) almost everywhere for some \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) of this form. The qualifier locally is essential when only \(L^1_{loc}\) control is assumed.
Soit \(I=(a,b)\subseteq\mathbb R\) un intervalle ouvert. Une fonction \(\tilde u:I\to\mathbb R\) est localement absolument continue, notée \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\), si elle est absolument continue sur tout sous-intervalle compact de \(I\). De manière équivalente, il existe \(w\in L^1_{loc}(I)\) et un point de base \(x_0\in I\) tels que
\[\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^{x}w(t)\,dt\qquad\text{pour tout }x\in I.\]
Une telle \(\tilde u\) est continue, dérivable presque partout avec \(\tilde u'=w\) p.p., et elle vérifie l'intégration par parties sur tout sous-intervalle compact de \(I\). On dit que \(u\in L^1_{loc}(I)\) admet un représentant localement absolument continu si \(u=\tilde u\) presque partout pour une certaine \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) de cette forme. Le qualificatif localement est essentiel lorsqu'on ne suppose qu'un contrôle dans \(L^1_{loc}\).
On \(I=(-1,1)\), \(\tilde u(x)=x^2\) is absolutely continuous and
\[\tilde u(x)=\tilde u(0)+\int_0^x 2t\,dt.\]
If a function \(u\) is obtained from \(x^2\) by changing its values on a null set, then \(u\) represents the same \(L^1_{loc}\) class and still has \(\tilde u=x^2\) as its locally absolutely continuous representative. Its weak derivative is therefore \(2x\) a.e. This illustrates why pointwise changes on null sets do not affect weak differentiation.
Sur \(I=(-1,1)\), \(\tilde u(x)=x^2\) est absolument continue et
\[\tilde u(x)=\tilde u(0)+\int_0^x 2t\,dt.\]
Si une fonction \(u\) est obtenue à partir de \(x^2\) en modifiant ses valeurs sur un ensemble de mesure nulle, alors \(u\) représente la même classe de \(L^1_{loc}\) et admet toujours \(\tilde u=x^2\) comme représentant localement absolument continu. Sa dérivée faible est donc \(2x\) p.p. Cet exemple montre pourquoi les modifications ponctuelles sur des ensembles nuls n’affectent pas la dérivation faible.
The standard mollifier is the function \(\eta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\) defined by
\[\eta(x)=\begin{cases}C\exp\!\Bigl(\dfrac{1}{|x|^2-1}\Bigr),&|x|<1,\\[4pt]0,&|x|\ge 1,\end{cases}\]
where the constant \(C>0\) is chosen so that \(\int_{\mathbb R^n}\eta\,dx=1\). It is smooth, non-negative, and supported in the closed unit ball. For \(\varepsilon>0\) put \(\eta_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\); then \(\eta_\varepsilon\ge 0\), \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subseteq\overline B(0,\varepsilon)\), and \(\int\eta_\varepsilon=1\). The mollification of \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) is the convolution
\[(u*\eta_\varepsilon)(x)=\int_{\Omega}\eta_\varepsilon(x-y)\,u(y)\,dy,\]
defined for \(x\) in the open set \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\). For such \(x\), the kernel only samples points of \(\Omega\); equivalently, one may extend \(u\) by zero outside \(\Omega\) and integrate over \(\mathbb R^n\).
Le noyau régularisant standard est la fonction \(\eta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\) définie par
\[\eta(x)=\begin{cases}C\exp\!\Bigl(\dfrac{1}{|x|^2-1}\Bigr),&|x|<1,\\[4pt]0,&|x|\ge 1,\end{cases}\]
où la constante \(C>0\) est choisie de sorte que \(\int_{\mathbb R^n}\eta\,dx=1\). Elle est lisse, positive ou nulle, et à support dans la boule unité fermée. Pour \(\varepsilon>0\) on pose \(\eta_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\) ; alors \(\eta_\varepsilon\ge 0\), \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subseteq\overline B(0,\varepsilon)\) et \(\int\eta_\varepsilon=1\). La régularisée de \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) est le produit de convolution
\[(u*\eta_\varepsilon)(x)=\int_{\Omega}\eta_\varepsilon(x-y)\,u(y)\,dy,\]
définie pour \(x\) dans l'ouvert \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\). Pour un tel \(x\), le noyau ne prélève que des points de \(\Omega\) ; de manière équivalente, on peut prolonger \(u\) par zéro hors de \(\Omega\) et intégrer sur \(\mathbb R^n\).
Let \(H=\mathbf 1_{(0,\infty)}\) on \(\mathbb R\). Although \(H\) has no weak derivative represented by an \(L^1_{loc}\) function, its mollification \(H\ast\eta_\varepsilon\) is smooth. Direct differentiation of the cumulative convolution gives
\[(H*\eta_\varepsilon)'=\eta_\varepsilon.\]
Thus the discontinuous step becomes a smooth transition across a layer of width about \(2\varepsilon\). As \(\varepsilon\to0\), the derivative bump becomes narrower and taller with total mass \(1\), foreshadowing the Dirac mass \(\delta_0\) in distribution theory.
Soit \(H=\mathbf 1_{(0,\infty)}\) sur \(\mathbb R\). Bien que \(H\) n’ait pas de dérivée faible représentée par une fonction de \(L^1_{loc}\), sa régularisée \(H\ast\eta_\varepsilon\) est lisse. La dérivation directe de la convolution cumulative donne
\[(H*\eta_\varepsilon)'=\eta_\varepsilon.\]
Le saut discontinu devient ainsi une transition lisse dans une couche de largeur voisine de \(2\varepsilon\). Lorsque \(\varepsilon\to0\), la bosse dérivée devient plus étroite et plus haute tout en gardant une masse totale égale à \(1\), annonçant la masse de Dirac \(\delta_0\) de la théorie des distributions.
Theorems & Proofs
If \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) possesses a weak derivative \(D^\alpha u\), then that derivative is unique up to equality almost everywhere. The heart of the matter is the fundamental lemma of the calculus of variations: if \(h\in L^1_{loc}(\Omega)\) satisfies \(\int_\Omega h\,\varphi\,dx=0\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), then \(h=0\) almost everywhere.
Si \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) possède une dérivée faible \(D^\alpha u\), alors cette dérivée est unique à égalité presque partout près. Le cœur de la question est le lemme fondamental du calcul des variations : si \(h\in L^1_{loc}(\Omega)\) vérifie \(\int_\Omega h\,\varphi\,dx=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), alors \(h=0\) presque partout.
Proof dependency. The fundamental lemma uses only the elementary local approximation property of mollifiers, proved independently in Theorem 1.6(iii). That approximation result does not use uniqueness, so there is no circular argument. We spell out exactly where it enters below.
Fundamental lemma. Let \(h\in L^1_{loc}(\Omega)\) annihilate every test function. Fix a ball \(B=B(x_0,r)\) with \(\overline B\subset\Omega\), and let \(x\in B_{\varepsilon}:=\{x:\operatorname{dist}(x,\partial B)>\varepsilon\}\). For such \(x\), the map \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) belongs to \(C_c^\infty(\Omega)\), so by hypothesis
\[(h*\eta_\varepsilon)(x)=\int_\Omega h(y)\,\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=0.\]
By the standard properties of mollification (Theorem 1.6), \(h*\eta_\varepsilon\to h\) in \(L^1(B')\) for every \(B'\subset\subset B\) as \(\varepsilon\to 0\). Since \(h*\eta_\varepsilon\equiv 0\) on \(B'\) for small \(\varepsilon\), the limit gives \(h=0\) a.e. on \(B'\), hence on \(B\). Because \(\mathbb R^n\) has a countable basis, the open set \(\Omega\) can be covered by countably many balls whose closures are contained in \(\Omega\). Hence \(h=0\) a.e. on all of \(\Omega\).
Uniqueness. Suppose \(g_1,g_2\in L^1_{loc}(\Omega)\) are both weak \(\alpha\)-derivatives of \(u\). Subtracting the two defining identities, for every \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\),
\[(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (g_1-g_2)\,\varphi\,dx=\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx-\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=0,\]
so \(\int_\Omega(g_1-g_2)\varphi\,dx=0\) for all \(\varphi\). By the fundamental lemma \(g_1-g_2=0\) a.e., that is \(g_1=g_2\) a.e. ∎
Dépendance de la démonstration. Le lemme fondamental n’utilise que la propriété élémentaire d’approximation locale par régularisation, démontrée indépendamment au théorème 1.6(iii). Ce résultat d’approximation n’utilise pas l’unicité, de sorte qu’il n’y a aucun raisonnement circulaire. Nous indiquons précisément ci-dessous où il intervient.
Lemme fondamental. Soit \(h\in L^1_{loc}(\Omega)\) annulant toute fonction test. Fixons une boule \(B=B(x_0,r)\) avec \(\overline B\subset\Omega\), et soit \(x\in B_{\varepsilon}:=\{x:\operatorname{dist}(x,\partial B)>\varepsilon\}\). Pour un tel \(x\), l'application \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) appartient à \(C_c^\infty(\Omega)\), donc par hypothèse
\[(h*\eta_\varepsilon)(x)=\int_\Omega h(y)\,\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=0.\]
D'après les propriétés standard de la régularisation (théorème 1.6), \(h*\eta_\varepsilon\to h\) dans \(L^1(B')\) pour tout \(B'\subset\subset B\) lorsque \(\varepsilon\to 0\). Comme \(h*\eta_\varepsilon\equiv 0\) sur \(B'\) pour \(\varepsilon\) petit, la limite donne \(h=0\) p.p. sur \(B'\), donc sur \(B\). Comme \(\mathbb R^n\) possède une base dénombrable, l’ouvert \(\Omega\) peut être recouvert par une famille dénombrable de boules dont les adhérences sont contenues dans \(\Omega\). Ainsi \(h=0\) p.p. sur tout \(\Omega\).
Unicité. Supposons que \(g_1,g_2\in L^1_{loc}(\Omega)\) soient tous deux dérivées faibles d'ordre \(\alpha\) de \(u\). En soustrayant les deux identités de définition, pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\),
\[(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (g_1-g_2)\,\varphi\,dx=\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx-\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=0,\]
donc \(\int_\Omega(g_1-g_2)\varphi\,dx=0\) pour toute \(\varphi\). Par le lemme fondamental \(g_1-g_2=0\) p.p., c'est-à-dire \(g_1=g_2\) p.p. ∎
Let \(u\in C^{|\alpha|}(\Omega)\). Then \(u\) is weakly \(\alpha\)-differentiable and its weak derivative coincides with the classical one: \(D^\alpha u\) (weak) \(=D^\alpha u\) (classical), the classical derivative providing a continuous representative of the weak derivative class. Thus the weak derivative genuinely extends the classical notion.
Soit \(u\in C^{|\alpha|}(\Omega)\). Alors \(u\) est faiblement \(\alpha\)-dérivable et sa dérivée faible coïncide avec la dérivée classique : \(D^\alpha u\) (faible) \(=D^\alpha u\) (classique), la dérivée classique fournissant un représentant continu de la classe de dérivée faible. Ainsi la dérivée faible prolonge véritablement la notion classique.
Proof roadmap. First prove the first-order identity by integration by parts with a compactly supported test function. Then write a higher multi-index as \(\alpha=\beta+e_i\) and iterate, keeping track of one minus sign per derivative.
We first treat a single first-order derivative \(D_i\), then iterate. Let \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) with \(K=\operatorname{supp}\varphi\), a compact subset of \(\Omega\). Choose a bounded open set \(V\) with \(K\subset V\subset\subset\Omega\) and smooth boundary. Since \(u\in C^1\), the classical integration-by-parts (divergence) formula on \(V\) gives
\[\int_V u\,\partial_i\varphi\,dx=\int_{\partial V}u\,\varphi\,\nu_i\,dS-\int_V(\partial_i u)\,\varphi\,dx,\]
where \(\nu_i\) is the \(i\)-th component of the outward normal. But \(\varphi\equiv 0\) on \(\partial V\) because \(\operatorname{supp}\varphi=K\subset V\), so the boundary integral vanishes. Extending the integrals from \(V\) to \(\Omega\) (the integrands vanish outside \(K\)),
\[\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega(\partial_i u)\,\varphi\,dx,\]
which is exactly the defining identity for the weak derivative with \(\alpha=e_i\), \(|\alpha|=1\). Hence \(\partial_i u\) (classical) is the weak derivative \(D_iu\).
Iteration. Suppose the claim holds for all multi-indices of order \(<|\alpha|\), and write \(\alpha=\beta+e_i\) with \(|\beta|=|\alpha|-1\). Applying the first-order case to the function \(D^\beta u\in C^1\) and then the inductive hypothesis to \(u\) and the test function \(\partial_i\varphi\) (which lies in \(C_c^\infty\)),
\[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=\int_\Omega u\,D^\beta(\partial_i\varphi)\,dx=(-1)^{|\beta|}\int_\Omega (D^\beta u)\,\partial_i\varphi\,dx=(-1)^{|\beta|+1}\int_\Omega (\partial_i D^\beta u)\,\varphi\,dx.\]
Since \(\partial_i D^\beta u=D^\alpha u\) classically and \(|\beta|+1=|\alpha|\), this is \((-1)^{|\alpha|}\int_\Omega(D^\alpha u)\varphi\,dx\), establishing the claim in general. ∎
Plan de démonstration. On prouve d’abord l’identité du premier ordre par intégration par parties contre une fonction test à support compact. Puis on écrit un multi-indice d’ordre supérieur sous la forme \(\alpha=\beta+e_i\) et on itère, en comptant un signe moins par dérivée.
Traitons d'abord une seule dérivée du premier ordre \(D_i\), puis itérons. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) avec \(K=\operatorname{supp}\varphi\), partie compacte de \(\Omega\). Choisissons un ouvert borné \(V\) tel que \(K\subset V\subset\subset\Omega\) à bord régulier. Comme \(u\in C^1\), la formule classique d'intégration par parties (formule de la divergence) sur \(V\) donne
\[\int_V u\,\partial_i\varphi\,dx=\int_{\partial V}u\,\varphi\,\nu_i\,dS-\int_V(\partial_i u)\,\varphi\,dx,\]
où \(\nu_i\) est la \(i\)-ème composante de la normale sortante. Mais \(\varphi\equiv 0\) sur \(\partial V\) car \(\operatorname{supp}\varphi=K\subset V\), donc l'intégrale de bord s'annule. En étendant les intégrales de \(V\) à \(\Omega\) (les intégrandes s'annulent hors de \(K\)),
\[\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega(\partial_i u)\,\varphi\,dx,\]
ce qui est exactement l'identité de définition de la dérivée faible pour \(\alpha=e_i\), \(|\alpha|=1\). Donc \(\partial_i u\) (classique) est la dérivée faible \(D_iu\).
Itération. Supposons l'énoncé vrai pour tous les multi-indices d'ordre \(<|\alpha|\), et écrivons \(\alpha=\beta+e_i\) avec \(|\beta|=|\alpha|-1\). En appliquant le cas du premier ordre à la fonction \(D^\beta u\in C^1\), puis l'hypothèse de récurrence à \(u\) et à la fonction test \(\partial_i\varphi\) (qui appartient à \(C_c^\infty\)),
\[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=\int_\Omega u\,D^\beta(\partial_i\varphi)\,dx=(-1)^{|\beta|}\int_\Omega (D^\beta u)\,\partial_i\varphi\,dx=(-1)^{|\beta|+1}\int_\Omega (\partial_i D^\beta u)\,\varphi\,dx.\]
Comme \(\partial_i D^\beta u=D^\alpha u\) classiquement et \(|\beta|+1=|\alpha|\), ceci vaut \((-1)^{|\alpha|}\int_\Omega(D^\alpha u)\varphi\,dx\), ce qui établit l'énoncé en général. ∎
Let \(u,v\in L^1_{loc}(\Omega)\) both admit the weak derivative \(D^\alpha\), and let \(a,b\in\mathbb R\). Then \(au+bv\) admits the weak derivative \(D^\alpha\), and
\[D^\alpha(au+bv)=a\,D^\alpha u+b\,D^\alpha v.\]
Soient \(u,v\in L^1_{loc}(\Omega)\) admettant toutes deux la dérivée faible \(D^\alpha\), et soient \(a,b\in\mathbb R\). Alors \(au+bv\) admet la dérivée faible \(D^\alpha\), et
\[D^\alpha(au+bv)=a\,D^\alpha u+b\,D^\alpha v.\]
Proof roadmap. Build the only plausible candidate \(g=aD^\alpha u+bD^\alpha v\), verify that it is locally integrable, and test it directly in the defining identity.
Set \(g=a\,D^\alpha u+b\,D^\alpha v\); it lies in \(L^1_{loc}(\Omega)\) as a linear combination of locally integrable functions. For every \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), the linearity of the integral gives
\[\int_\Omega (au+bv)\,D^\alpha\varphi\,dx=a\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx+b\int_\Omega v\,D^\alpha\varphi\,dx.\]
Applying the defining identity to \(u\) and to \(v\), the right-hand side equals
\[a(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega (D^\alpha u)\varphi\,dx+b(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega (D^\alpha v)\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega g\,\varphi\,dx.\]
Thus \(g\) satisfies the defining identity for \(D^\alpha(au+bv)\), and by uniqueness (Theorem 1.1) it is that weak derivative. ∎
Plan de démonstration. On construit l’unique candidat naturel \(g=aD^\alpha u+bD^\alpha v\), on vérifie qu’il est localement intégrable, puis on le teste directement dans l’identité de définition.
Posons \(g=a\,D^\alpha u+b\,D^\alpha v\) ; elle appartient à \(L^1_{loc}(\Omega)\) comme combinaison linéaire de fonctions localement intégrables. Pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), la linéarité de l'intégrale donne
\[\int_\Omega (au+bv)\,D^\alpha\varphi\,dx=a\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx+b\int_\Omega v\,D^\alpha\varphi\,dx.\]
En appliquant l'identité de définition à \(u\) et à \(v\), le membre de droite vaut
\[a(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega (D^\alpha u)\varphi\,dx+b(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega (D^\alpha v)\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\!\int_\Omega g\,\varphi\,dx.\]
Ainsi \(g\) vérifie l'identité de définition de \(D^\alpha(au+bv)\), et par unicité (théorème 1.1) elle en est la dérivée faible. ∎
Let \(I=(a,b)\) and \(u\in L^1_{loc}(I)\). Then \(u\) has a weak derivative \(v\in L^1_{loc}(I)\) if and only if \(u\) has a locally absolutely continuous representative \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) with \(\tilde u'=v\) almost everywhere. Thus, in one dimension, \(W^{1,1}_{loc}(I)\) is represented precisely by \(AC_{loc}(I)\) functions, up to equality almost everywhere.
Soit \(I=(a,b)\) et \(u\in L^1_{loc}(I)\). Alors \(u\) admet une dérivée faible \(v\in L^1_{loc}(I)\) si et seulement si \(u\) admet un représentant localement absolument continu \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) avec \(\tilde u'=v\) presque partout. Ainsi, en dimension un, \(W^{1,1}_{loc}(I)\) est représenté exactement par les fonctions de \(AC_{loc}(I)\), à égalité presque partout près.
Proof roadmap. Prove both directions. A locally absolutely continuous representative gives integration by parts on compact subintervals immediately. Conversely, integrate the weak derivative to build a locally absolutely continuous function, subtract it from \(u\), and prove that zero weak derivative forces an almost-everywhere constant.
(\(\Leftarrow\)) Local absolute continuity implies weak differentiability. Suppose \(u=\tilde u\) a.e. with \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) and \(\tilde u'=v\) a.e. Let \(\varphi\in C_c^\infty(I)\), and choose a compact interval \([c,d]\subset I\) with \(\operatorname{supp}\varphi\subset(c,d)\). Since \(\tilde u\) is absolutely continuous on \([c,d]\), classical integration by parts gives
\[\int_I \tilde u\,\varphi'\,dx=\int_c^d \tilde u\,\varphi'\,dx=[\tilde u\,\varphi]_c^d-\int_c^d v\,\varphi\,dx=-\int_I v\,\varphi\,dx,\]
because \(\varphi(c)=\varphi(d)=0\). This argument uses only compact subintervals and therefore also covers unbounded open intervals.
Since \(u=\tilde u\) a.e., the same identity holds with \(u\), so \(v\) is the weak derivative of \(u\).
(\(\Rightarrow\)) Weak differentiability implies local absolute continuity. Suppose \(u\) has weak derivative \(v\in L^1_{loc}(I)\). Fix \(x_0\in I\) and define
\[w(x)=\int_{x_0}^{x}v(t)\,dt,\]
which is locally absolutely continuous with \(w'=v\) a.e.; by the direction just proved, \(w\) has weak derivative \(v\) as well. By linearity (Theorem 1.3), \(u-w\) has weak derivative \(v-v=0\). We claim a function with zero weak derivative on an interval is a.e. equal to a constant. Granting this, \(u-w=c\) a.e. for some constant \(c\), so \(u=w+c\) a.e.; the function \(\tilde u=w+c\) is the desired locally absolutely continuous representative with \(\tilde u'=v\) a.e.
Zero weak derivative \(\Rightarrow\) constant. Let \(f\in L^1_{loc}(I)\) satisfy \(\int_I f\,\varphi'\,dx=0\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(I)\). Fix \(\psi_0\in C_c^\infty(I)\) with \(\int_I\psi_0=1\). Given \(\varphi\in C_c^\infty(I)\), set \(h=\varphi-(\int_I\varphi)\psi_0\). Then \(h\in C_c^\infty(I)\) and \(\int_I h=0\). If \(h=0\), take \(\phi=0\). Otherwise choose \(r\in I\) strictly to the left of \(\operatorname{supp}h\) and define \(\phi(x)=\int_r^x h(t)\,dt\). Because \(h\) has compact support and total integral zero, \(\phi\in C_c^\infty(I)\) and \(\phi'=h\). Hence \(\varphi=(\int_I\varphi)\psi_0+\phi'\), and
\[\int_I f\,\varphi\,dx=\Bigl(\int_I\varphi\Bigr)\int_I f\,\psi_0\,dx+\int_I f\,\phi'\,dx=\Bigl(\int_I\varphi\Bigr)c,\qquad c:=\int_I f\,\psi_0\,dx,\]
the last integral vanishing by hypothesis. Hence \(\int_I(f-c)\varphi\,dx=0\) for all \(\varphi\), and by the fundamental lemma (Theorem 1.1) \(f=c\) a.e. ∎
Plan de démonstration. On démontre les deux implications. Un représentant localement absolument continu fournit l’intégration par parties sur les sous-intervalles compacts. Réciproquement, on intègre la dérivée faible pour construire une fonction localement absolument continue, on la soustrait à \(u\), puis on prouve qu’une dérivée faible nulle impose une constante presque partout.
(\(\Leftarrow\)) La continuité absolue locale implique la dérivabilité faible. Supposons \(u=\tilde u\) p.p. avec \(\tilde u\in AC_{loc}(I)\) et \(\tilde u'=v\) p.p. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(I)\), et choisissons un intervalle compact \([c,d]\subset I\) tel que \(\operatorname{supp}\varphi\subset(c,d)\). Comme \(\tilde u\) est absolument continue sur \([c,d]\), l'intégration par parties classique donne
\[\int_I \tilde u\,\varphi'\,dx=\int_c^d \tilde u\,\varphi'\,dx=[\tilde u\,\varphi]_c^d-\int_c^d v\,\varphi\,dx=-\int_I v\,\varphi\,dx,\]
car \(\varphi(c)=\varphi(d)=0\). Cet argument n'utilise que des sous-intervalles compacts et couvre donc aussi les intervalles ouverts non bornés.
Comme \(u=\tilde u\) p.p., la même identité vaut avec \(u\), donc \(v\) est la dérivée faible de \(u\).
(\(\Rightarrow\)) La dérivabilité faible implique la continuité absolue locale. Supposons que \(u\) admette la dérivée faible \(v\in L^1_{loc}(I)\). Fixons \(x_0\in I\) et posons
\[w(x)=\int_{x_0}^{x}v(t)\,dt,\]
qui est localement absolument continue avec \(w'=v\) p.p. ; par la direction que l'on vient d'établir, \(w\) admet aussi \(v\) pour dérivée faible. Par linéarité (théorème 1.3), \(u-w\) admet la dérivée faible \(v-v=0\). Nous affirmons qu'une fonction de dérivée faible nulle sur un intervalle est p.p. égale à une constante. Ceci admis, \(u-w=c\) p.p. pour une constante \(c\), donc \(u=w+c\) p.p. ; la fonction \(\tilde u=w+c\) est le représentant localement absolument continu recherché, avec \(\tilde u'=v\) p.p.
Dérivée faible nulle \(\Rightarrow\) constante. Soit \(f\in L^1_{loc}(I)\) vérifiant \(\int_I f\,\varphi'\,dx=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(I)\). Fixons \(\psi_0\in C_c^\infty(I)\) avec \(\int_I\psi_0=1\). Pour \(\varphi\in C_c^\infty(I)\), posons \(h=\varphi-(\int_I\varphi)\psi_0\). Alors \(h\in C_c^\infty(I)\) et \(\int_I h=0\). Si \(h=0\), prenons \(\phi=0\). Sinon, choisissons \(r\in I\) strictement à gauche de \(\operatorname{supp}h\) et définissons \(\phi(x)=\int_r^x h(t)\,dt\). Comme \(h\) est à support compact et d'intégrale totale nulle, \(\phi\in C_c^\infty(I)\) et \(\phi'=h\). Ainsi \(\varphi=(\int_I\varphi)\psi_0+\phi'\), et
\[\int_I f\,\varphi\,dx=\Bigl(\int_I\varphi\Bigr)\int_I f\,\psi_0\,dx+\int_I f\,\phi'\,dx=\Bigl(\int_I\varphi\Bigr)c,\qquad c:=\int_I f\,\psi_0\,dx,\]
la dernière intégrale étant nulle par hypothèse. Donc \(\int_I(f-c)\varphi\,dx=0\) pour toute \(\varphi\), et par le lemme fondamental (théorème 1.1) \(f=c\) p.p. ∎
Let \(\zeta\in C^\infty(\Omega)\) and let \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) possess the first-order weak derivative \(D_iu\). Then \(\zeta u\) possesses the weak derivative \(D_i(\zeta u)\), and
\[D_i(\zeta u)=\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)\,u.\]
Soit \(\zeta\in C^\infty(\Omega)\) et soit \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) possédant la dérivée faible du premier ordre \(D_iu\). Alors \(\zeta u\) possède la dérivée faible \(D_i(\zeta u)\), et
\[D_i(\zeta u)=\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)\,u.\]
Proof roadmap. The key move is to use \(\zeta\varphi\) as the test function for \(u\). Expand \(\partial_i(\zeta\varphi)\) classically, then rearrange the resulting identity into the weak-derivative definition for \(\zeta u\).
Set \(g=\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)\,u\); it is in \(L^1_{loc}(\Omega)\) since \(\zeta\) and \(\partial_i\zeta\) are locally bounded. Let \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). Then \(\zeta\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), with the classical Leibniz rule \(\partial_i(\zeta\varphi)=\zeta\,\partial_i\varphi+(\partial_i\zeta)\varphi\), hence \(\zeta\,\partial_i\varphi=\partial_i(\zeta\varphi)-(\partial_i\zeta)\varphi\). Therefore
\[\int_\Omega (\zeta u)\,\partial_i\varphi\,dx=\int_\Omega u\,\bigl(\zeta\,\partial_i\varphi\bigr)dx=\int_\Omega u\,\partial_i(\zeta\varphi)\,dx-\int_\Omega u\,(\partial_i\zeta)\varphi\,dx.\]
Applying the definition of \(D_iu\) with the test function \(\zeta\varphi\) to the first integral,
\[\int_\Omega u\,\partial_i(\zeta\varphi)\,dx=-\int_\Omega (D_iu)\,\zeta\varphi\,dx.\]
Substituting,
\[\int_\Omega (\zeta u)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega\bigl(\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)u\bigr)\varphi\,dx=-\int_\Omega g\,\varphi\,dx,\]
which is the defining identity for \(D_i(\zeta u)=g\). ∎
Plan de démonstration. L’étape clé consiste à utiliser \(\zeta\varphi\) comme fonction test pour \(u\). On développe classiquement \(\partial_i(\zeta\varphi)\), puis on réorganise l’identité obtenue sous la forme de la définition faible pour \(\zeta u\).
Posons \(g=\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)\,u\) ; elle appartient à \(L^1_{loc}(\Omega)\) puisque \(\zeta\) et \(\partial_i\zeta\) sont localement bornées. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). Alors \(\zeta\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), avec la règle de Leibniz classique \(\partial_i(\zeta\varphi)=\zeta\,\partial_i\varphi+(\partial_i\zeta)\varphi\), d'où \(\zeta\,\partial_i\varphi=\partial_i(\zeta\varphi)-(\partial_i\zeta)\varphi\). Par conséquent
\[\int_\Omega (\zeta u)\,\partial_i\varphi\,dx=\int_\Omega u\,\bigl(\zeta\,\partial_i\varphi\bigr)dx=\int_\Omega u\,\partial_i(\zeta\varphi)\,dx-\int_\Omega u\,(\partial_i\zeta)\varphi\,dx.\]
En appliquant la définition de \(D_iu\) avec la fonction test \(\zeta\varphi\) à la première intégrale,
\[\int_\Omega u\,\partial_i(\zeta\varphi)\,dx=-\int_\Omega (D_iu)\,\zeta\varphi\,dx.\]
En reportant,
\[\int_\Omega (\zeta u)\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega\bigl(\zeta\,D_iu+(\partial_i\zeta)u\bigr)\varphi\,dx=-\int_\Omega g\,\varphi\,dx,\]
ce qui est l'identité de définition de \(D_i(\zeta u)=g\). ∎
Let \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) and \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\). Then:
(i) \(u*\eta_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)\);
(ii) if the weak derivative \(D^\alpha u\) exists, then on \(\Omega_\varepsilon\),
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)=(D^\alpha u)*\eta_\varepsilon;\]
(iii) if \(u\in L^p_{loc}(\Omega)\) with \(1\le p<\infty\), then \(u*\eta_\varepsilon\to u\) in \(L^p_{loc}(\Omega)\) as \(\varepsilon\to 0\).
Soit \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) et \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\). Alors :
(i) \(u*\eta_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)\) ;
(ii) si la dérivée faible \(D^\alpha u\) existe, alors sur \(\Omega_\varepsilon\),
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)=(D^\alpha u)*\eta_\varepsilon;\]
(iii) si \(u\in L^p_{loc}(\Omega)\) avec \(1\le p<\infty\), alors \(u*\eta_\varepsilon\to u\) dans \(L^p_{loc}(\Omega)\) lorsque \(\varepsilon\to 0\).
Proof roadmap. Treat the three claims separately: differentiate the smooth kernel under the integral to obtain smoothing; use the weak identity with the translated mollifier to commute derivatives; and use continuity of translations in \(L^p\) to prove local convergence.
(i) Smoothness. Fix \(x\in\Omega_\varepsilon\). For \(h\) small and any index \(i\), difference quotients of \((u*\eta_\varepsilon)(x)=\int u(y)\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\) are dominated in absolute value by the integrable function \(|u(y)|\sup|\partial_i\eta_\varepsilon(\cdot)|\mathbf 1_{K}(y)\) on a fixed compact neighbourhood \(K\), so differentiation under the integral sign (dominated convergence) applies. Iterating,
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)(x)=\int_\Omega u(y)\,D^\alpha_x\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\]
for every multi-index \(\alpha\); since \(\eta_\varepsilon\in C^\infty\), all these derivatives exist and are continuous, so \(u*\eta_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)\).
(ii) Commutation. Fix \(x\in\Omega_\varepsilon\), so \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) belongs to \(C_c^\infty(\Omega)\). Using the previous formula, the chain-rule identity \(D^\alpha_x\eta_\varepsilon(x-y)=(-1)^{|\alpha|}D^\alpha_y\bigl[\eta_\varepsilon(x-y)\bigr]\), and then the definition of the weak derivative \(D^\alpha u\),
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)(x)=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega u(y)\,D^\alpha_y\varphi(y)\,dy=(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\,\varphi(y)\,dy.\]
Since \((-1)^{2|\alpha|}=1\) and \(\varphi(y)=\eta_\varepsilon(x-y)\), the right-hand side is \(\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=\bigl((D^\alpha u)*\eta_\varepsilon\bigr)(x)\).
(iii) Convergence. Fix \(V\subset\subset\Omega\) and pick \(\varepsilon\) small enough that \(V\subset\Omega_\varepsilon\). Because \(\int\eta_\varepsilon=1\), for \(x\in V\),
\[(u*\eta_\varepsilon)(x)-u(x)=\int_{|z|\le\varepsilon}\eta_\varepsilon(z)\bigl(u(x-z)-u(x)\bigr)dz.\]
By Jensen's (or Minkowski's integral) inequality and \(\int\eta_\varepsilon=1\),
\[\|u*\eta_\varepsilon-u\|_{L^p(V)}\le\sup_{|z|\le\varepsilon}\|\tau_z u-u\|_{L^p(V')},\]
where \(\tau_z u(x)=u(x-z)\) and \(V'\) is a slightly larger compact set. Continuity of translation in \(L^p\) (for \(1\le p<\infty\)) makes the right-hand side tend to \(0\) as \(\varepsilon\to 0\). Hence \(u*\eta_\varepsilon\to u\) in \(L^p(V)\), for every \(V\subset\subset\Omega\). ∎
Plan de démonstration. On traite séparément les trois assertions : dériver le noyau régulier sous l’intégrale pour obtenir le lissage ; utiliser l’identité faible avec le noyau translaté pour commuter les dérivées ; puis utiliser la continuité des translations dans \(L^p\) pour établir la convergence locale.
(i) Régularité. Fixons \(x\in\Omega_\varepsilon\). Pour \(h\) petit et tout indice \(i\), les taux d'accroissement de \((u*\eta_\varepsilon)(x)=\int u(y)\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\) sont dominés en valeur absolue par la fonction intégrable \(|u(y)|\sup|\partial_i\eta_\varepsilon(\cdot)|\mathbf 1_{K}(y)\) sur un voisinage compact fixe \(K\), de sorte que la dérivation sous le signe intégral (convergence dominée) s'applique. Par itération,
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)(x)=\int_\Omega u(y)\,D^\alpha_x\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\]
pour tout multi-indice \(\alpha\) ; comme \(\eta_\varepsilon\in C^\infty\), toutes ces dérivées existent et sont continues, donc \(u*\eta_\varepsilon\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)\).
(ii) Commutation. Fixons \(x\in\Omega_\varepsilon\), de sorte que \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) appartient à \(C_c^\infty(\Omega)\). En utilisant la formule précédente, l'identité de dérivation composée \(D^\alpha_x\eta_\varepsilon(x-y)=(-1)^{|\alpha|}D^\alpha_y\bigl[\eta_\varepsilon(x-y)\bigr]\), puis la définition de la dérivée faible \(D^\alpha u\),
\[D^\alpha(u*\eta_\varepsilon)(x)=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega u(y)\,D^\alpha_y\varphi(y)\,dy=(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\,\varphi(y)\,dy.\]
Comme \((-1)^{2|\alpha|}=1\) et \(\varphi(y)=\eta_\varepsilon(x-y)\), le membre de droite vaut \(\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=\bigl((D^\alpha u)*\eta_\varepsilon\bigr)(x)\).
(iii) Convergence. Fixons \(V\subset\subset\Omega\) et choisissons \(\varepsilon\) assez petit pour que \(V\subset\Omega_\varepsilon\). Comme \(\int\eta_\varepsilon=1\), pour \(x\in V\),
\[(u*\eta_\varepsilon)(x)-u(x)=\int_{|z|\le\varepsilon}\eta_\varepsilon(z)\bigl(u(x-z)-u(x)\bigr)dz.\]
Par l'inégalité de Jensen (ou de Minkowski intégrale) et \(\int\eta_\varepsilon=1\),
\[\|u*\eta_\varepsilon-u\|_{L^p(V)}\le\sup_{|z|\le\varepsilon}\|\tau_z u-u\|_{L^p(V')},\]
où \(\tau_z u(x)=u(x-z)\) et \(V'\) est un compact légèrement plus grand. La continuité de la translation dans \(L^p\) (pour \(1\le p<\infty\)) fait tendre le membre de droite vers \(0\) lorsque \(\varepsilon\to 0\). Donc \(u*\eta_\varepsilon\to u\) dans \(L^p(V)\), pour tout \(V\subset\subset\Omega\). ∎
Worked Examples
Problem. On \(\Omega=(-1,1)\), let \(u(x)=|x|\). Show that its weak derivative is \(v(x)=\operatorname{sgn}(x)\), equal to \(-1\) for \(x<0\) and \(+1\) for \(x>0\).
Verification. Let \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\). Split the integral at \(0\) and integrate by parts on each half, using \(\varphi(\pm 1)=0\) and \(|x|=-x\) for \(x<0\), \(|x|=x\) for \(x>0\):
\[\int_{-1}^{1}|x|\,\varphi'(x)\,dx=\int_{-1}^{0}(-x)\varphi'\,dx+\int_{0}^{1}x\,\varphi'\,dx.\]
On \((-1,0)\), \(\int_{-1}^{0}(-x)\varphi'\,dx=\bigl[-x\varphi\bigr]_{-1}^{0}+\int_{-1}^{0}\varphi\,dx=0+\int_{-1}^{0}\varphi\,dx\) (the bracket vanishes at both ends). On \((0,1)\), \(\int_{0}^{1}x\varphi'\,dx=\bigl[x\varphi\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\varphi\,dx=-\int_{0}^{1}\varphi\,dx\). Hence
\[\int_{-1}^{1}|x|\,\varphi'\,dx=\int_{-1}^{0}\varphi\,dx-\int_{0}^{1}\varphi\,dx=-\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\,\varphi\,dx.\]
This is exactly \(\int u\,\varphi'=-\int v\,\varphi\), so \(v=\operatorname{sgn}\) is the weak derivative. Note \(u=|x|\) is continuous (indeed absolutely continuous), in accordance with Theorem 1.4; the value of \(v\) at the single point \(x=0\) is irrelevant, since it is defined only up to a.e. equality.
Problème. Sur \(\Omega=(-1,1)\), soit \(u(x)=|x|\). Montrer que sa dérivée faible est \(v(x)=\operatorname{sgn}(x)\), égale à \(-1\) pour \(x<0\) et \(+1\) pour \(x>0\).
Vérification. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\). Coupons l'intégrale en \(0\) et intégrons par parties sur chaque moitié, en utilisant \(\varphi(\pm 1)=0\) et \(|x|=-x\) pour \(x<0\), \(|x|=x\) pour \(x>0\) :
\[\int_{-1}^{1}|x|\,\varphi'(x)\,dx=\int_{-1}^{0}(-x)\varphi'\,dx+\int_{0}^{1}x\,\varphi'\,dx.\]
Sur \((-1,0)\), \(\int_{-1}^{0}(-x)\varphi'\,dx=\bigl[-x\varphi\bigr]_{-1}^{0}+\int_{-1}^{0}\varphi\,dx=0+\int_{-1}^{0}\varphi\,dx\) (le crochet s'annule aux deux extrémités). Sur \((0,1)\), \(\int_{0}^{1}x\varphi'\,dx=\bigl[x\varphi\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\varphi\,dx=-\int_{0}^{1}\varphi\,dx\). D'où
\[\int_{-1}^{1}|x|\,\varphi'\,dx=\int_{-1}^{0}\varphi\,dx-\int_{0}^{1}\varphi\,dx=-\int_{-1}^{1}\operatorname{sgn}(x)\,\varphi\,dx.\]
C'est exactement \(\int u\,\varphi'=-\int v\,\varphi\), donc \(v=\operatorname{sgn}\) est la dérivée faible. Notons que \(u=|x|\) est continue (et même absolument continue), conformément au théorème 1.4 ; la valeur de \(v\) au seul point \(x=0\) est sans importance, puisque \(v\) n'est définie qu'à égalité p.p. près.
Problem. Let \(H(x)=1\) for \(x>0\) and \(H(x)=0\) for \(x<0\) on \(\Omega=(-1,1)\). Show that \(H\) has no weak derivative in \(L^1_{loc}(-1,1)\).
Argument. Suppose, for contradiction, that some \(g\in L^1_{loc}(-1,1)\) is the weak derivative. Then for every \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\),
\[-\int_{-1}^{1}g\,\varphi\,dx=\int_{-1}^{1}H\,\varphi'\,dx=\int_{0}^{1}\varphi'\,dx=\varphi(1)-\varphi(0)=-\varphi(0),\]
so \(\int_{-1}^{1}g\,\varphi\,dx=\varphi(0)\) for all \(\varphi\). Take a sequence \(\varphi_k\in C_c^\infty(-1,1)\) with \(0\le\varphi_k\le 1\), \(\varphi_k(0)=1\), and \(\varphi_k\to 0\) pointwise on \((-1,1)\setminus\{0\}\), supported in \((-1/k,1/k)\). Then \(\varphi_k(0)=1\) for all \(k\), while by dominated convergence (dominated by \(|g|\in L^1_{loc}\) on a fixed compact set)
\[\int_{-1}^{1}g\,\varphi_k\,dx\ \longrightarrow\ 0.\]
This forces \(1=\lim_k\varphi_k(0)=\lim_k\int g\,\varphi_k=0\), a contradiction. Hence no locally integrable \(g\) can serve as the weak derivative.
Interpretation. The would-be derivative is the Dirac mass \(\delta_0\), the distribution \(\varphi\mapsto\varphi(0)\), which is not represented by any \(L^1_{loc}\) function. So \(H\) is differentiable as a distribution but not weakly differentiable in the \(L^1_{loc}\) sense; the jump obstructs it.
Problème. Soit \(H(x)=1\) pour \(x>0\) et \(H(x)=0\) pour \(x<0\) sur \(\Omega=(-1,1)\). Montrer que \(H\) n'a pas de dérivée faible dans \(L^1_{loc}(-1,1)\).
Argument. Supposons par l'absurde qu'un certain \(g\in L^1_{loc}(-1,1)\) soit la dérivée faible. Alors pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\),
\[-\int_{-1}^{1}g\,\varphi\,dx=\int_{-1}^{1}H\,\varphi'\,dx=\int_{0}^{1}\varphi'\,dx=\varphi(1)-\varphi(0)=-\varphi(0),\]
donc \(\int_{-1}^{1}g\,\varphi\,dx=\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\). Prenons une suite \(\varphi_k\in C_c^\infty(-1,1)\) avec \(0\le\varphi_k\le 1\), \(\varphi_k(0)=1\), et \(\varphi_k\to 0\) ponctuellement sur \((-1,1)\setminus\{0\}\), à support dans \((-1/k,1/k)\). Alors \(\varphi_k(0)=1\) pour tout \(k\), tandis que, par convergence dominée (dominée par \(|g|\in L^1_{loc}\) sur un compact fixe),
\[\int_{-1}^{1}g\,\varphi_k\,dx\ \longrightarrow\ 0.\]
Ceci force \(1=\lim_k\varphi_k(0)=\lim_k\int g\,\varphi_k=0\), une contradiction. Donc aucun \(g\) localement intégrable ne peut servir de dérivée faible.
Interprétation. La dérivée prétendue est la masse de Dirac \(\delta_0\), la distribution \(\varphi\mapsto\varphi(0)\), qui n'est représentée par aucune fonction \(L^1_{loc}\). Ainsi \(H\) est dérivable en tant que distribution, mais non faiblement dérivable au sens \(L^1_{loc}\) ; le saut y fait obstruction.
Problem. On \(\Omega=(0,2)\) define the piecewise-linear "tent"
\[u(x)=\begin{cases}x,&0<x\le 1,\\ 2-x,&1<x<2.\end{cases}\]
Find its weak derivative.
Candidate. Away from the corner at \(x=1\), \(u\) is classically differentiable with slope \(+1\) on \((0,1)\) and \(-1\) on \((1,2)\). We claim the weak derivative is the step function \(v(x)=1\) on \((0,1)\) and \(v(x)=-1\) on \((1,2)\).
Verification. For \(\varphi\in C_c^\infty(0,2)\), integrate by parts on each piece using \(\varphi(0^+)=\varphi(2^-)=0\):
\[\int_0^2 u\,\varphi'\,dx=\int_0^1 x\,\varphi'\,dx+\int_1^2(2-x)\varphi'\,dx.\]
The first integral is \([x\varphi]_0^1-\int_0^1\varphi=\varphi(1)-\int_0^1\varphi\). The second is \([(2-x)\varphi]_1^2+\int_1^2\varphi=-\varphi(1)+\int_1^2\varphi\). The boundary terms \(\pm\varphi(1)\) cancel, precisely because \(u\) is continuous at \(x=1\), leaving
\[\int_0^2 u\,\varphi'\,dx=-\int_0^1\varphi\,dx+\int_1^2\varphi\,dx=-\int_0^2 v\,\varphi\,dx.\]
Hence \(v\) is the weak derivative. Its jump from \(+1\) to \(-1\) at \(x=1\) is legitimate: the primitive \(u\) stays continuous there, so no Dirac mass is generated, unlike the Heaviside case of Example 1.2.
Problème. Sur \(\Omega=(0,2)\) on définit la fonction triangle affine par morceaux
\[u(x)=\begin{cases}x,&0<x\le 1,\\ 2-x,&1<x<2.\end{cases}\]
Déterminer sa dérivée faible.
Candidate. En dehors du point anguleux \(x=1\), \(u\) est classiquement dérivable, de pente \(+1\) sur \((0,1)\) et \(-1\) sur \((1,2)\). Nous affirmons que la dérivée faible est la fonction en escalier \(v(x)=1\) sur \((0,1)\) et \(v(x)=-1\) sur \((1,2)\).
Vérification. Pour \(\varphi\in C_c^\infty(0,2)\), intégrons par parties sur chaque morceau en utilisant \(\varphi(0^+)=\varphi(2^-)=0\) :
\[\int_0^2 u\,\varphi'\,dx=\int_0^1 x\,\varphi'\,dx+\int_1^2(2-x)\varphi'\,dx.\]
La première intégrale vaut \([x\varphi]_0^1-\int_0^1\varphi=\varphi(1)-\int_0^1\varphi\). La seconde vaut \([(2-x)\varphi]_1^2+\int_1^2\varphi=-\varphi(1)+\int_1^2\varphi\). Les termes de bord \(\pm\varphi(1)\) s'annulent, précisément parce que \(u\) est continue en \(x=1\), ce qui laisse
\[\int_0^2 u\,\varphi'\,dx=-\int_0^1\varphi\,dx+\int_1^2\varphi\,dx=-\int_0^2 v\,\varphi\,dx.\]
Donc \(v\) est la dérivée faible. Son saut de \(+1\) à \(-1\) en \(x=1\) est légitime : la primitive \(u\) y reste continue, de sorte qu'aucune masse de Dirac n'apparaît, contrairement au cas de Heaviside de l'exemple 1.2.
The tempting rule is: differentiate classically wherever possible and ignore the finitely many "bad" points. This is false. The Heaviside step \(H\) of Example 1.2 has classical derivative \(H'(x)=0\) at every \(x\ne 0\), hence almost everywhere. If the naive rule were correct, the weak derivative would be the zero function. But we proved \(H\) has no weak derivative in \(L^1_{loc}\) at all: the identity \(\int H\varphi'=-\int 0\cdot\varphi=0\) fails, since \(\int H\varphi'=-\varphi(0)\ne 0\) in general.
The reason is that the weak derivative must reproduce, through integration by parts, the boundary contribution created by the jump. A jump discontinuity injects a Dirac mass that no \(L^1_{loc}\) function can carry. The correct principle, from Theorem 1.4, is that weak differentiability in one dimension requires an absolutely continuous representative: continuity, not merely piecewise smoothness, is essential. The tent function of Example 1.3 is weakly differentiable exactly because it is continuous at its corner, so the boundary terms cancel; the Heaviside function is not, because it is not.
La règle tentante est : dériver classiquement partout où c'est possible et ignorer les quelques points « mauvais ». C'est faux. L'échelon de Heaviside \(H\) de l'exemple 1.2 a pour dérivée classique \(H'(x)=0\) en tout \(x\ne 0\), donc presque partout. Si la règle naïve était correcte, la dérivée faible serait la fonction nulle. Or nous avons prouvé que \(H\) n'a aucune dérivée faible dans \(L^1_{loc}\) : l'identité \(\int H\varphi'=-\int 0\cdot\varphi=0\) échoue, puisque \(\int H\varphi'=-\varphi(0)\ne 0\) en général.
La raison est que la dérivée faible doit reproduire, via l'intégration par parties, la contribution de bord créée par le saut. Une discontinuité de saut injecte une masse de Dirac qu'aucune fonction \(L^1_{loc}\) ne peut porter. Le principe correct, issu du théorème 1.4, est que la dérivabilité faible en dimension un exige un représentant absolument continu : la continuité, et pas seulement la régularité par morceaux, est essentielle. La fonction triangle de l'exemple 1.3 est faiblement dérivable justement parce qu'elle est continue en son point anguleux, de sorte que les termes de bord s'annulent ; la fonction de Heaviside ne l'est pas, parce qu'elle ne l'est pas.
Exercises
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Elementary differentiation of monomials. · <b>Expected method:</b> differentiate variable by variable. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
For a multi-index \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb N_0^n\) recall \(|\alpha|=\sum_i\alpha_i\), \(\alpha!=\prod_i\alpha_i!\), \(x^\alpha=\prod_i x_i^{\alpha_i}\), and \(D^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}\). In \(\mathbb R^2\) compute \(D^\alpha x^\beta\) for \(\alpha=(1,2)\) and \(\beta=(3,2)\), and state \(|\alpha|\) and \(\alpha!\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. The operator \(D^\alpha\) acts factor by factor: apply \(\partial_1\) once and \(\partial_2\) twice.
Checkpoint 2. Recall the general rule \(D^\alpha x^\beta=\dfrac{\beta!}{(\beta-\alpha)!}\,x^{\beta-\alpha}\) when \(\alpha\le\beta\), and \(0\) otherwise.
Checkpoint 3. Finish by checking \(|\alpha|\), \(\alpha!\), and the exponent \(\beta-\alpha\). These three checks catch most multi-index bookkeeping errors.
3. Learning check.
Keep the three multi-index notions separate: total order, factorial product, and coordinatewise differentiation.
4. Complete step-by-step solution.
Here \(x^\beta=x_1^3x_2^2\). Applying \(\partial_1\) once gives \(\partial_1(x_1^3x_2^2)=3x_1^2x_2^2\); applying \(\partial_2\) twice to the factor \(x_2^2\) gives \(\partial_2^2 x_2^2=2\). Hence \[D^\alpha x^\beta=\partial_1\partial_2^2\big(x_1^3x_2^2\big)=\big(3x_1^2\big)\big(2\big)=6x_1^2.\]
The order is \(|\alpha|=1+2=3\), and \(\alpha!=1!\,\cdot\,2!=2\). This agrees with the closed form \(D^\alpha x^\beta=\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!}x^{\beta-\alpha}\): here \(\beta-\alpha=(2,0)\), \(\frac{3!\,2!}{2!\,0!}=6\), giving \(6x_1^2\). ∎
1. Objectif.
Pour un multi-indice \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb N_0^n\), rappelons que \(|\alpha|=\sum_i\alpha_i\), \(\alpha!=\prod_i\alpha_i!\), \(x^\alpha=\prod_i x_i^{\alpha_i}\) et \(D^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}\). Dans \(\mathbb R^2\), calculez \(D^\alpha x^\beta\) pour \(\alpha=(1,2)\) et \(\beta=(3,2)\), puis donnez \(|\alpha|\) et \(\alpha!\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. L'opérateur \(D^\alpha\) agit facteur par facteur : appliquez \(\partial_1\) une fois et \(\partial_2\) deux fois.
Étape 2. Rappelez la règle générale \(D^\alpha x^\beta=\dfrac{\beta!}{(\beta-\alpha)!}\,x^{\beta-\alpha}\) lorsque \(\alpha\le\beta\), et \(0\) sinon.
Étape 3. Terminez en vérifiant \(|\alpha|\), \(\alpha!\) et l’exposant \(\beta-\alpha\). Ces trois contrôles détectent la plupart des erreurs de calcul multi-indiciel.
3. Point d’apprentissage.
Gardez distinctes les trois notions multi-indicielles : ordre total, produit des factorielles et dérivation coordonnée par coordonnée.
4. Solution complète, étape par étape.
Ici \(x^\beta=x_1^3x_2^2\). En appliquant \(\partial_1\) une fois on obtient \(\partial_1(x_1^3x_2^2)=3x_1^2x_2^2\) ; en appliquant \(\partial_2\) deux fois au facteur \(x_2^2\) on obtient \(\partial_2^2 x_2^2=2\). D'où \[D^\alpha x^\beta=\partial_1\partial_2^2\big(x_1^3x_2^2\big)=\big(3x_1^2\big)\big(2\big)=6x_1^2.\]
L'ordre vaut \(|\alpha|=1+2=3\), et \(\alpha!=1!\,\cdot\,2!=2\). Ceci concorde avec la forme close \(D^\alpha x^\beta=\frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!}x^{\beta-\alpha}\) : ici \(\beta-\alpha=(2,0)\), \(\frac{3!\,2!}{2!\,0!}=6\), ce qui donne \(6x_1^2\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Classical integration by parts; test functions. · <b>Expected method:</b> integrate by parts \(|\alpha|\) times and track the boundary terms. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Let \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\). Write down precisely what it means for \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) to be the weak derivative \(D^\alpha u=g\), namely \(\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), and explain where the sign \((-1)^{|\alpha|}\) comes from.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. If \(u\) were smooth, classical integration by parts against \(\varphi\in C_c^\infty\) would give \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\); the boundary term vanishes because \(\varphi\) has compact support.
Checkpoint 2. Each of the \(|\alpha|\) integrations by parts contributes one factor \(-1\); the total is \((-1)^{|\alpha|}\). The definition simply promotes this identity to a defining property when \(u\) is only locally integrable.
Checkpoint 3. Your last sentence should state both requirements: the identity holds for every test function and the candidate derivative belongs to \(L^1_{loc}\).
3. Learning check.
A weak derivative is defined by a universal test-function identity plus local integrability of the candidate; the sign records the number of integrations by parts.
4. Complete step-by-step solution.
Definition. We say \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) is the weak derivative \(D^\alpha u\) if \[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\qquad\text{for every }\varphi\in C_c^\infty(\Omega).\] Both integrals converge because \(u,g\in L^1_{loc}\) and \(\varphi,D^\alpha\varphi\) are bounded with compact support.
Origin of the sign. Suppose momentarily \(u\in C^{|\alpha|}\). Integrating by parts once in the variable \(x_i\) moves one derivative off \(\varphi\) onto \(u\) and produces a factor \(-1\), the boundary term vanishing since \(\varphi\) has compact support in \(\Omega\). Doing this \(|\alpha|\) times (once for each of the \(\alpha_i\) derivatives, \(i=1,\dots,n\)) accumulates the factor \((-1)^{|\alpha|}\) and lands all derivatives on \(u\): \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int (D^\alpha u)\varphi\). The weak definition keeps this identity as the requirement on \(g\), even when \(u\) has no classical derivatives. ∎
1. Objectif.
Soit \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\). Écrivez précisément ce que signifie pour \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) d'être la dérivée faible \(D^\alpha u=g\), à savoir \(\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), et expliquez d'où provient le signe \((-1)^{|\alpha|}\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Si \(u\) était régulière, l'intégration par parties classique contre \(\varphi\in C_c^\infty\) donnerait \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\) ; le terme de bord s'annule car \(\varphi\) est à support compact.
Étape 2. Chacune des \(|\alpha|\) intégrations par parties apporte un facteur \(-1\) ; le produit vaut \((-1)^{|\alpha|}\). La définition élève cette identité au rang de propriété définissante lorsque \(u\) n'est que localement intégrable.
Étape 3. Votre dernière phrase doit rappeler les deux exigences : l’identité vaut pour toute fonction test et la dérivée candidate appartient à \(L^1_{loc}\).
3. Point d’apprentissage.
Une dérivée faible est définie par une identité universelle contre les fonctions test et par l’intégrabilité locale du candidat ; le signe compte le nombre d’intégrations par parties.
4. Solution complète, étape par étape.
Définition. On dit que \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) est la dérivée faible \(D^\alpha u\) si \[\int_\Omega u\,D^\alpha\varphi\,dx=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega g\,\varphi\,dx\qquad\text{pour toute }\varphi\in C_c^\infty(\Omega).\] Les deux intégrales convergent car \(u,g\in L^1_{loc}\) et \(\varphi,D^\alpha\varphi\) sont bornées à support compact.
Origine du signe. Supposons un instant \(u\in C^{|\alpha|}\). Une intégration par parties en la variable \(x_i\) déplace une dérivée de \(\varphi\) vers \(u\) et produit un facteur \(-1\), le terme de bord s'annulant puisque \(\varphi\) est à support compact dans \(\Omega\). En répétant \(|\alpha|\) fois (une fois pour chacune des \(\alpha_i\) dérivées, \(i=1,\dots,n\)) on accumule le facteur \((-1)^{|\alpha|}\) et toutes les dérivées passent sur \(u\) : \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int (D^\alpha u)\varphi\). La définition faible conserve cette identité comme exigence sur \(g\), même lorsque \(u\) n'a aucune dérivée classique. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative; integration by parts. · <b>Expected method:</b> split at \(0\), integrate by parts on each side, check boundary terms cancel. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Show directly from the definition that on \(\Omega=(-1,1)\) the function \(u(x)=|x|\) has weak derivative \(g(x)=\operatorname{sgn}(x)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Write \(\int_{-1}^1|x|\varphi'\,dx=\int_{-1}^0(-x)\varphi'\,dx+\int_0^1 x\,\varphi'\,dx\) and integrate by parts in each piece.
Checkpoint 2. The boundary contributions at \(x=\pm1\) vanish because \(\varphi(\pm1)=0\); at \(x=0\) they cancel because \(|x|\) is continuous there (the two one-sided terms are both \(0\cdot\varphi(0)\)).
Checkpoint 3. After the two integrations by parts, rewrite the result exactly as \(\int |x|\varphi'=-\int\operatorname{sgn}(x)\varphi\). That is the weak-derivative definition, not merely a suggestive calculation.
3. Learning check.
A corner is compatible with an \(L^1\) weak derivative when the function itself stays continuous and the piecewise boundary terms cancel.
4. Complete step-by-step solution.
Let \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), so \(\varphi(\pm1)=0\). Split at the corner: \[\int_{-1}^1|x|\varphi'\,dx=\int_{-1}^0(-x)\varphi'\,dx+\int_0^1 x\,\varphi'\,dx.\]
On \((-1,0)\): with \(v=\varphi\), \(\int_{-1}^0(-x)\varphi'=\big[-x\varphi\big]_{-1}^0-\int_{-1}^0(-1)\varphi=\big(0-1\cdot\varphi(-1)\big)+\int_{-1}^0\varphi=\int_{-1}^0\varphi,\) since \(\varphi(-1)=0\).
On \((0,1)\): \(\int_0^1 x\,\varphi'=\big[x\varphi\big]_0^1-\int_0^1\varphi=\big(\varphi(1)-0\big)-\int_0^1\varphi=-\int_0^1\varphi,\) since \(\varphi(1)=0\).
Adding, \(\int_{-1}^1|x|\varphi'=\int_{-1}^0\varphi-\int_0^1\varphi=-\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi\,dx\), because \(\operatorname{sgn}=-1\) on \((-1,0)\) and \(+1\) on \((0,1)\). This is exactly \((-1)^{1}\int g\,\varphi\) with \(g=\operatorname{sgn}\), so \(u'=\operatorname{sgn}\) weakly. Note \(\operatorname{sgn}\in L^1_{loc}(-1,1)\). ∎
1. Objectif.
Montrez directement à partir de la définition que, sur \(\Omega=(-1,1)\), la fonction \(u(x)=|x|\) admet pour dérivée faible \(g(x)=\operatorname{sgn}(x)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Écrivez \(\int_{-1}^1|x|\varphi'\,dx=\int_{-1}^0(-x)\varphi'\,dx+\int_0^1 x\,\varphi'\,dx\) et intégrez par parties dans chaque morceau.
Étape 2. Les contributions de bord en \(x=\pm1\) s'annulent car \(\varphi(\pm1)=0\) ; en \(x=0\) elles se compensent car \(|x|\) y est continue (les deux termes unilatéraux valent \(0\cdot\varphi(0)\)).
Étape 3. Après les deux intégrations par parties, réécrivez exactement le résultat sous la forme \(\int |x|\varphi'=-\int\operatorname{sgn}(x)\varphi\). C’est l’identité de définition de la dérivée faible, et non une simple indication de calcul.
3. Point d’apprentissage.
Un point anguleux est compatible avec une dérivée faible dans \(L^1\) lorsque la fonction elle-même reste continue et que les termes de bord par morceaux se compensent.
4. Solution complète, étape par étape.
Soit \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), donc \(\varphi(\pm1)=0\). Coupons au coin : \[\int_{-1}^1|x|\varphi'\,dx=\int_{-1}^0(-x)\varphi'\,dx+\int_0^1 x\,\varphi'\,dx.\]
Sur \((-1,0)\) : avec \(v=\varphi\), \(\int_{-1}^0(-x)\varphi'=\big[-x\varphi\big]_{-1}^0-\int_{-1}^0(-1)\varphi=\big(0-1\cdot\varphi(-1)\big)+\int_{-1}^0\varphi=\int_{-1}^0\varphi,\) car \(\varphi(-1)=0\).
Sur \((0,1)\) : \(\int_0^1 x\,\varphi'=\big[x\varphi\big]_0^1-\int_0^1\varphi=\big(\varphi(1)-0\big)-\int_0^1\varphi=-\int_0^1\varphi,\) car \(\varphi(1)=0\).
En additionnant, \(\int_{-1}^1|x|\varphi'=\int_{-1}^0\varphi-\int_0^1\varphi=-\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi\,dx\), puisque \(\operatorname{sgn}=-1\) sur \((-1,0)\) et \(+1\) sur \((0,1)\). C'est exactement \((-1)^{1}\int g\,\varphi\) avec \(g=\operatorname{sgn}\), donc \(u'=\operatorname{sgn}\) au sens faible. Notons que \(\operatorname{sgn}\in L^1_{loc}(-1,1)\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative. · <b>Expected method:</b> \(x_+\) vanishes on \((-1,0)\); integrate by parts on \((0,1)\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
On \((-1,1)\) let \(u(x)=x_+=\max(x,0)\). Show that its weak derivative is the Heaviside function \(H\), with \(H(x)=0\) for \(x<0\) and \(H(x)=1\) for \(x>0\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Only the region \(x>0\) contributes: \(\int_{-1}^1 x_+\varphi'=\int_0^1 x\,\varphi'\).
Checkpoint 2. The boundary term at \(x=0\) is \(0\cdot\varphi(0)=0\) because \(x_+\) is continuous and vanishes there.
Checkpoint 3. The junction at \(0\) creates no Dirac term because \(x_+\) is continuous there. The remaining slopes are \(0\) and \(1\), giving the Heaviside function a.e.
3. Learning check.
The derivative may jump even when the original function is continuous; it is a jump of the function itself that creates a Dirac mass.
4. Complete step-by-step solution.
Let \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\). Since \(x_+=0\) on \((-1,0)\), \[\int_{-1}^1 x_+\varphi'\,dx=\int_0^1 x\,\varphi'\,dx=\big[x\varphi\big]_0^1-\int_0^1\varphi\,dx=-\int_0^1\varphi\,dx,\] using \(\varphi(1)=0\) and that the lower endpoint gives \(0\cdot\varphi(0)=0\).
On the other hand \(\int_{-1}^1 H\varphi=\int_0^1\varphi\), so \(\int_{-1}^1 x_+\varphi'=-\int_{-1}^1 H\varphi=(-1)^1\int_{-1}^1 H\varphi\). Thus \(u'=H\) weakly. Here \(H\in L^1_{loc}(-1,1)\), and the two one-sided classical derivatives (\(0\) and \(1\)) are recovered off the single point \(x=0\). ∎
1. Objectif.
Sur \((-1,1)\), soit \(u(x)=x_+=\max(x,0)\). Montrez que sa dérivée faible est la fonction de Heaviside \(H\), avec \(H(x)=0\) pour \(x<0\) et \(H(x)=1\) pour \(x>0\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Seule la région \(x>0\) contribue : \(\int_{-1}^1 x_+\varphi'=\int_0^1 x\,\varphi'\).
Étape 2. Le terme de bord en \(x=0\) vaut \(0\cdot\varphi(0)=0\) car \(x_+\) est continue et s'y annule.
Étape 3. Le raccord en \(0\) ne crée pas de terme de Dirac car \(x_+\) y est continue. Les pentes restantes sont \(0\) et \(1\), ce qui donne la fonction de Heaviside p.p.
3. Point d’apprentissage.
La dérivée peut avoir un saut alors que la fonction originale reste continue ; c’est un saut de la fonction elle-même qui crée une masse de Dirac.
4. Solution complète, étape par étape.
Soit \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\). Comme \(x_+=0\) sur \((-1,0)\), \[\int_{-1}^1 x_+\varphi'\,dx=\int_0^1 x\,\varphi'\,dx=\big[x\varphi\big]_0^1-\int_0^1\varphi\,dx=-\int_0^1\varphi\,dx,\] avec \(\varphi(1)=0\) et l'extrémité inférieure donnant \(0\cdot\varphi(0)=0\).
Par ailleurs \(\int_{-1}^1 H\varphi=\int_0^1\varphi\), donc \(\int_{-1}^1 x_+\varphi'=-\int_{-1}^1 H\varphi=(-1)^1\int_{-1}^1 H\varphi\). Ainsi \(u'=H\) au sens faible. Ici \(H\in L^1_{loc}(-1,1)\), et les deux dérivées classiques unilatérales (\(0\) et \(1\)) sont retrouvées hors du seul point \(x=0\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Classical integration by parts. · <b>Expected method:</b> isolate the boundary term and test with a \(\varphi\) that is nonzero at an endpoint. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Explain why compactly supported test functions eliminate boundary terms: for \(u\in C^1[a,b]\) and \(\varphi\in C^\infty[a,b]\), prove \(\int_a^b u\varphi'=-\int_a^b u'\varphi+[u\varphi]_a^b\). Show that the boundary term vanishes whenever \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\), and explain that \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) guarantees this by vanishing in neighbourhoods of both endpoints. Give a one-line example showing that if endpoint values are not zero, the weak-derivative identity may fail because of the boundary term.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Compact support inside the open interval means \(\varphi=0\) in a neighborhood of each endpoint, so \([u\varphi]_a^b=0\) for any \(u\).
Checkpoint 2. Take \(u\equiv1\), whose derivative is \(0\), and a \(\varphi\) with \(\varphi(b)\ne0\): then \(\int u\varphi'=\varphi(b)-\varphi(a)\ne-\int u'\varphi=0\).
Checkpoint 3. To exhibit failure without the endpoint condition, take \(u\equiv1\) on \([0,1]\) and \(\varphi(x)=x\). Then \(u'=0\) but \(\int_0^1u\varphi'=1\), exactly the missing boundary term.
3. Learning check.
Compact support is a robust sufficient mechanism for killing boundary terms, but the exact endpoint condition in this finite-interval calculation is \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\).
4. Complete step-by-step solution.
For \(u\in C^1[a,b]\) and any smooth \(\varphi\), the product rule and the fundamental theorem of calculus give \[\int_a^b u\varphi'\,dx=\int_a^b (u\varphi)'\,dx-\int_a^b u'\varphi\,dx=[u\varphi]_a^b-\int_a^b u'\varphi\,dx.\] Rearranged, \(\int_a^b u\varphi'=-\int_a^b u'\varphi+[u\varphi]_a^b\).
If \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\), then \(\varphi\equiv0\) in neighborhoods of \(a\) and \(b\), so \([u\varphi]_a^b=u(b)\varphi(b)-u(a)\varphi(a)=0\) regardless of \(u\). This is precisely what makes the clean identity \(\int u\varphi'=-\int u'\varphi\) hold for all admissible \(\varphi\), which is what a definition must not depend on unknown boundary data of \(u\).
Failure without compact support. Take \(u\equiv1\) on \([0,1]\), so \(u'=0\), and \(\varphi(x)=x\), which is smooth but \(\varphi(1)=1\ne0\). Then \(\int_0^1 u\varphi'=\int_0^1 1\,dx=1\), whereas \(-\int_0^1 u'\varphi=0\). The identity fails by exactly the boundary term \([u\varphi]_0^1=1\). Compact support removes this ambiguity. ∎
1. Objectif.
Expliquez pourquoi les fonctions test à support compact éliminent les termes de bord : pour \(u\in C^1[a,b]\) et \(\varphi\in C^\infty[a,b]\), démontrez \(\int_a^b u\varphi'=-\int_a^b u'\varphi+[u\varphi]_a^b\). Montrez que le terme de bord s’annule dès que \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\), puis expliquez que \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) garantit cette propriété en s’annulant dans des voisinages des deux extrémités. Donnez un exemple en une ligne montrant que, si les valeurs aux extrémités ne sont pas nulles, l’identité de dérivation faible peut échouer à cause du terme de bord.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Un support compact à l'intérieur de l'intervalle ouvert signifie \(\varphi=0\) au voisinage de chaque extrémité, donc \([u\varphi]_a^b=0\) pour toute \(u\).
Étape 2. Prenez \(u\equiv1\), de dérivée \(0\), et une \(\varphi\) avec \(\varphi(b)\ne0\) : alors \(\int u\varphi'=\varphi(b)-\varphi(a)\ne-\int u'\varphi=0\).
Étape 3. Pour montrer l’échec sans condition aux extrémités, prenez \(u\equiv1\) sur \([0,1]\) et \(\varphi(x)=x\). Alors \(u'=0\) mais \(\int_0^1u\varphi'=1\), qui est précisément le terme de bord manquant.
3. Point d’apprentissage.
Le support compact est un mécanisme robuste suffisant pour annuler les termes de bord, mais la condition exacte aux extrémités dans ce calcul sur un intervalle fini est \(\varphi(a)=\varphi(b)=0\).
4. Solution complète, étape par étape.
Pour \(u\in C^1[a,b]\) et toute \(\varphi\) régulière, la règle du produit et le théorème fondamental de l'analyse donnent \[\int_a^b u\varphi'\,dx=\int_a^b (u\varphi)'\,dx-\int_a^b u'\varphi\,dx=[u\varphi]_a^b-\int_a^b u'\varphi\,dx.\] En réarrangeant, \(\int_a^b u\varphi'=-\int_a^b u'\varphi+[u\varphi]_a^b\).
Si \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\), alors \(\varphi\equiv0\) au voisinage de \(a\) et \(b\), donc \([u\varphi]_a^b=u(b)\varphi(b)-u(a)\varphi(a)=0\) quelle que soit \(u\). C'est exactement ce qui rend valide l'identité nette \(\int u\varphi'=-\int u'\varphi\) pour toute \(\varphi\) admissible, ce dont une définition ne doit pas dépendre via des données de bord inconnues de \(u\).
Échec sans support compact. Prenons \(u\equiv1\) sur \([0,1]\), donc \(u'=0\), et \(\varphi(x)=x\), régulière mais avec \(\varphi(1)=1\ne0\). Alors \(\int_0^1 u\varphi'=\int_0^1 1\,dx=1\), tandis que \(-\int_0^1 u'\varphi=0\). L'identité échoue précisément du terme de bord \([u\varphi]_0^1=1\). Le support compact élimine cette ambiguïté. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative; piecewise integration by parts. · <b>Expected method:</b> split at \(-1,0,1\); the corners are continuous so boundary terms telescope to zero. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Let \(u(x)=(1-|x|)_+\) be the tent function on \(\mathbb R\) (supported on \([-1,1]\)). Show that its weak derivative is \(g(x)=1\) on \((-1,0)\), \(g(x)=-1\) on \((0,1)\), and \(g(x)=0\) for \(|x|>1\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. On \((-1,0)\), \(u(x)=1+x\) with classical slope \(+1\); on \((0,1)\), \(u(x)=1-x\) with slope \(-1\).
Checkpoint 2. Because \(u\) is continuous at \(-1,0,1\), every boundary term produced by integration by parts is matched and cancelled by the neighbouring piece.
Checkpoint 3. Integrate by parts on the affine pieces. At \(x=-1,0,1\), the boundary contributions telescope because the tent is continuous; only the piecewise slopes \(0,1,-1,0\) remain.
3. Learning check.
For continuous piecewise-smooth functions, check continuity at every interface before discarding interface terms.
4. Complete step-by-step solution.
Let \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)\). Since \(u=0\) outside \([-1,1]\), \[\int_{\mathbb R}u\varphi'=\int_{-1}^0(1+x)\varphi'\,dx+\int_0^1(1-x)\varphi'\,dx.\]
On \((-1,0)\): \(\int_{-1}^0(1+x)\varphi'=\big[(1+x)\varphi\big]_{-1}^0-\int_{-1}^0\varphi=\varphi(0)-\int_{-1}^0\varphi\), using \((1+x)|_{x=-1}=0\).
On \((0,1)\): \(\int_0^1(1-x)\varphi'=\big[(1-x)\varphi\big]_0^1+\int_0^1\varphi=-\varphi(0)+\int_0^1\varphi\), using \((1-x)|_{x=1}=0\).
Adding, the \(\pm\varphi(0)\) terms cancel: \(\int_{\mathbb R}u\varphi'=-\int_{-1}^0\varphi+\int_0^1\varphi=-\int_{\mathbb R}g\varphi\), where \(g=+1\) on \((-1,0)\), \(-1\) on \((0,1)\), \(0\) elsewhere. Hence \(u'=g\) weakly, and \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). ∎
1. Objectif.
Soit \(u(x)=(1-|x|)_+\) la fonction chapeau sur \(\mathbb R\) (à support dans \([-1,1]\)). Montrez que sa dérivée faible est \(g(x)=1\) sur \((-1,0)\), \(g(x)=-1\) sur \((0,1)\), et \(g(x)=0\) pour \(|x|>1\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Sur \((-1,0)\), \(u(x)=1+x\) de pente classique \(+1\) ; sur \((0,1)\), \(u(x)=1-x\) de pente \(-1\).
Étape 2. Comme \(u\) est continue en \(-1,0,1\), chaque terme de bord produit par l'intégration par parties est compensé par le morceau voisin.
Étape 3. Intégrez par parties sur les morceaux affines. En \(x=-1,0,1\), les contributions de bord se télescopent grâce à la continuité de la tente ; seules subsistent les pentes par morceaux \(0,1,-1,0\).
3. Point d’apprentissage.
Pour les fonctions continues et régulières par morceaux, vérifiez la continuité à chaque interface avant d’éliminer les termes d’interface.
4. Solution complète, étape par étape.
Soit \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)\). Comme \(u=0\) hors de \([-1,1]\), \[\int_{\mathbb R}u\varphi'=\int_{-1}^0(1+x)\varphi'\,dx+\int_0^1(1-x)\varphi'\,dx.\]
Sur \((-1,0)\) : \(\int_{-1}^0(1+x)\varphi'=\big[(1+x)\varphi\big]_{-1}^0-\int_{-1}^0\varphi=\varphi(0)-\int_{-1}^0\varphi\), car \((1+x)|_{x=-1}=0\).
Sur \((0,1)\) : \(\int_0^1(1-x)\varphi'=\big[(1-x)\varphi\big]_0^1+\int_0^1\varphi=-\varphi(0)+\int_0^1\varphi\), car \((1-x)|_{x=1}=0\).
En additionnant, les termes \(\pm\varphi(0)\) se compensent : \(\int_{\mathbb R}u\varphi'=-\int_{-1}^0\varphi+\int_0^1\varphi=-\int_{\mathbb R}g\varphi\), où \(g=+1\) sur \((-1,0)\), \(-1\) sur \((0,1)\), \(0\) ailleurs. Donc \(u'=g\) au sens faible, et \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Lebesgue integral; Hölder on compacts. · <b>Expected method:</b> bound integrals over compacts; test \(1/x\) near \(0\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Define \(L^1_{loc}(\Omega)\) precisely and explain why it is the natural home for weak derivatives. Show that every continuous function on \(\Omega\) lies in \(L^1_{loc}(\Omega)\), that \(L^p_{loc}\subset L^1_{loc}\) for \(1\le p\le\infty\), and that \(x\mapsto1/x\) does not belong to \(L^1_{loc}(-1,1)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. A continuous function is bounded on any compact \(K\), so \(\int_K|f|\le\|f\|_{\infty,K}|K|<\infty\).
Checkpoint 2. For \(1/x\), \(\int_0^{1/2}\frac{dx}{x}=[\ln x]\) diverges at \(0\); no compact neighbourhood of \(0\) has finite integral.
Checkpoint 3. For \(1\le p<\infty\), apply Hölder on each compact set; for \(p=\infty\), use boundedness times finite measure. For \(1/x\), the integral of \(1/|x|\) diverges on every neighbourhood of \(0\).
3. Learning check.
Local integrability is tested on every compact subset; singularities are allowed when their absolute integral remains finite locally.
4. Complete step-by-step solution.
Definition. \(L^1_{loc}(\Omega)=\{f:\Omega\to\mathbb R\text{ measurable}:\int_K|f|\,dx<\infty\text{ for every compact }K\subset\Omega\}\), functions identified when equal almost everywhere. It is the natural home for weak derivatives because the pairings \(\int u\,D^\alpha\varphi\) and \(\int g\varphi\) must converge for all \(\varphi\in C_c^\infty\); since \(\varphi\) is bounded with compact support, within the regular-distribution, function-valued framework used in this chapter, this is guaranteed by local integrability of \(u\) and \(g\).
Continuous \(\subset L^1_{loc}\). If \(f\in C(\Omega)\) and \(K\subset\Omega\) is compact, then \(f\) attains a finite maximum \(M=\max_K|f|\), so \(\int_K|f|\le M|K|<\infty\).
\(L^p_{loc}\subset L^1_{loc}\). For \(1\le p\le\infty\) and compact \(K\), Hölder gives \(\int_K|f|\le\|f\|_{L^p(K)}\,|K|^{1-1/p}<\infty\) (with the convention \(1/\infty=0\)). Thus membership in \(L^p_{loc}\) forces membership in \(L^1_{loc}\).
\(1/x\notin L^1_{loc}(-1,1)\). The point \(0\) lies in \((-1,1)\), and any compact \(K=[-\delta,\delta]\) satisfies \(\int_K\frac{dx}{|x|}\ge2\int_0^\delta\frac{dx}{x}=+\infty\). So \(1/x\) is not locally integrable there and therefore does not define a regular distribution by the pairing \(\varphi\mapsto\int (1/x)\varphi\). It lies outside the present function-valued weak-derivative framework; a principal-value distribution is a different object. ∎
1. Objectif.
Définissez précisément \(L^1_{loc}(\Omega)\) et expliquez pourquoi c'est le cadre naturel des dérivées faibles. Montrez que toute fonction continue sur \(\Omega\) appartient à \(L^1_{loc}(\Omega)\), que \(L^p_{loc}\subset L^1_{loc}\) pour \(1\le p\le\infty\), et que \(x\mapsto1/x\) n'appartient pas à \(L^1_{loc}(-1,1)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Une fonction continue est bornée sur tout compact \(K\), donc \(\int_K|f|\le\|f\|_{\infty,K}|K|<\infty\).
Étape 2. Pour \(1/x\), \(\int_0^{1/2}\frac{dx}{x}=[\ln x]\) diverge en \(0\) ; aucun voisinage compact de \(0\) n'a d'intégrale finie.
Étape 3. Pour \(1\le p<\infty\), appliquez Hölder sur chaque compact ; pour \(p=\infty\), utilisez la bornitude et la mesure finie. Pour \(1/x\), l’intégrale de \(1/|x|\) diverge dans tout voisinage de \(0\).
3. Point d’apprentissage.
L’intégrabilité locale se teste sur tout compact ; les singularités sont permises tant que leur intégrale absolue reste localement finie.
4. Solution complète, étape par étape.
Définition. \(L^1_{loc}(\Omega)=\{f:\Omega\to\mathbb R\text{ mesurable}:\int_K|f|\,dx<\infty\text{ pour tout compact }K\subset\Omega\}\), les fonctions étant identifiées si égales presque partout. C'est le cadre naturel des dérivées faibles car les couplages \(\int u\,D^\alpha\varphi\) et \(\int g\varphi\) doivent converger pour toute \(\varphi\in C_c^\infty\) ; comme \(\varphi\) est bornée à support compact, dans le cadre des distributions régulières et des dérivées représentées par des fonctions utilisé dans ce chapitre, cela est garanti par l'intégrabilité locale de \(u\) et \(g\).
Continue \(\subset L^1_{loc}\). Si \(f\in C(\Omega)\) et \(K\subset\Omega\) est compact, alors \(f\) atteint un maximum fini \(M=\max_K|f|\), donc \(\int_K|f|\le M|K|<\infty\).
\(L^p_{loc}\subset L^1_{loc}\). Pour \(1\le p\le\infty\) et \(K\) compact, Hölder donne \(\int_K|f|\le\|f\|_{L^p(K)}\,|K|^{1-1/p}<\infty\) (avec la convention \(1/\infty=0\)). Ainsi l'appartenance à \(L^p_{loc}\) entraîne celle à \(L^1_{loc}\).
\(1/x\notin L^1_{loc}(-1,1)\). Le point \(0\) est dans \((-1,1)\), et tout compact \(K=[-\delta,\delta]\) vérifie \(\int_K\frac{dx}{|x|}\ge2\int_0^\delta\frac{dx}{x}=+\infty\). Donc \(1/x\) n'y est pas localement intégrable et ne définit pas une distribution régulière par le couplage \(\varphi\mapsto\int (1/x)\varphi\). Il sort du cadre présent des dérivées faibles représentées par des fonctions ; la distribution en valeur principale est un objet différent. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative; fundamental lemma (Ex 1.9). · <b>Expected method:</b> assume a weak derivative exists, force it to be \(0\) off the origin, then reach a contradiction. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Show that the Heaviside function \(H\) has no weak derivative in \(L^1_{loc}(-1,1)\). Interpret the obstruction: its distributional derivative is the Dirac mass \(\delta_0\), which is not a function.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Compute \(\int_{-1}^1 H\varphi'=\int_0^1\varphi'=-\varphi(0)\). So a weak derivative \(g\) would satisfy \(\int g\varphi=\varphi(0)\) for all \(\varphi\).
Checkpoint 2. Restrict to \(\varphi\) supported in \((0,1)\) or in \((-1,0)\) to force \(g=0\) a.e.; then \(\varphi(0)=0\) for all \(\varphi\), which is false.
Checkpoint 3. Use test functions supported in shrinking intervals around \(0\) with value \(1\) at the origin. If \(g\in L^1_{loc}\), absolute continuity of the integral forces \(\int g\varphi_k\to0\), contradicting the fixed value \(\varphi_k(0)=1\).
3. Learning check.
A distributional derivative concentrated at one point cannot be represented by an \(L^1_{loc}\) function.
4. Complete step-by-step solution.
Suppose \(g\in L^1_{loc}(-1,1)\) were the weak derivative of \(H\). For every \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), \[-\int_{-1}^1 g\varphi=\int_{-1}^1 H\varphi'=\int_0^1\varphi'\,dx=\varphi(1)-\varphi(0)=-\varphi(0),\] so \(\int_{-1}^1 g\varphi=\varphi(0)\) for all \(\varphi\).
Take any \(\varphi\) with support in \((0,1)\): then \(\varphi(0)=0\), so \(\int g\varphi=0\); by the fundamental lemma \(g=0\) a.e. on \((0,1)\). Likewise \(g=0\) a.e. on \((-1,0)\). Hence \(g=0\) a.e. on \((-1,1)\), and \(\int g\varphi=0\) for every \(\varphi\).
But then \(\varphi(0)=0\) would hold for every \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), which is absurd (choose \(\varphi\) with \(\varphi(0)=1\)). No such \(g\) exists. The correct object is the distribution \(\delta_0\) defined by \(\langle\delta_0,\varphi\rangle=\varphi(0)\): the derivative of \(H\) is \(\delta_0\), a measure concentrated at \(0\), which cannot be represented as \(\int g\,\varphi\) with \(g\in L^1_{loc}\). The jump of height \(1\) in \(H\) is exactly what produces this point mass. ∎
1. Objectif.
Montrez que la fonction de Heaviside \(H\) n'a pas de dérivée faible dans \(L^1_{loc}(-1,1)\). Interprétez l'obstruction : sa dérivée au sens des distributions est la masse de Dirac \(\delta_0\), qui n'est pas une fonction.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Calculez \(\int_{-1}^1 H\varphi'=\int_0^1\varphi'=-\varphi(0)\). Une dérivée faible \(g\) vérifierait donc \(\int g\varphi=\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\).
Étape 2. Restreignez à \(\varphi\) à support dans \((0,1)\) ou \((-1,0)\) pour forcer \(g=0\) p.p. ; alors \(\varphi(0)=0\) pour toute \(\varphi\), ce qui est faux.
Étape 3. Utilisez des fonctions test supportées dans des intervalles qui se resserrent autour de \(0\) et valent \(1\) à l’origine. Si \(g\in L^1_{loc}\), l’absolue continuité de l’intégrale impose \(\int g\varphi_k\to0\), en contradiction avec \(\varphi_k(0)=1\).
3. Point d’apprentissage.
Une dérivée distributionnelle concentrée en un point ne peut pas être représentée par une fonction de \(L^1_{loc}\).
4. Solution complète, étape par étape.
Supposons que \(g\in L^1_{loc}(-1,1)\) soit la dérivée faible de \(H\). Pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), \[-\int_{-1}^1 g\varphi=\int_{-1}^1 H\varphi'=\int_0^1\varphi'\,dx=\varphi(1)-\varphi(0)=-\varphi(0),\] donc \(\int_{-1}^1 g\varphi=\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\).
Prenons \(\varphi\) à support dans \((0,1)\) : alors \(\varphi(0)=0\), donc \(\int g\varphi=0\) ; par le lemme fondamental \(g=0\) p.p. sur \((0,1)\). De même \(g=0\) p.p. sur \((-1,0)\). Donc \(g=0\) p.p. sur \((-1,1)\), et \(\int g\varphi=0\) pour toute \(\varphi\).
Mais alors \(\varphi(0)=0\) vaudrait pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(-1,1)\), ce qui est absurde (choisir \(\varphi\) avec \(\varphi(0)=1\)). Aucun tel \(g\) n'existe. L'objet correct est la distribution \(\delta_0\) définie par \(\langle\delta_0,\varphi\rangle=\varphi(0)\) : la dérivée de \(H\) est \(\delta_0\), une mesure concentrée en \(0\), qui ne peut s'écrire \(\int g\,\varphi\) avec \(g\in L^1_{loc}\). Le saut de hauteur \(1\) de \(H\) est précisément ce qui produit cette masse ponctuelle. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Fundamental lemma (proved in Ex 1.24). · <b>Expected method:</b> apply the lemma to the difference of two candidate derivatives. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
State the fundamental lemma of the calculus of variations (du Bois-Reymond): if \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) and \(\int_\Omega g\varphi\,dx=0\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), then \(g=0\) almost everywhere. Deduce that a weak derivative, when it exists, is unique up to equality a.e.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. If \(g_1\) and \(g_2\) are both weak derivatives \(D^\alpha u\), subtract the two defining identities.
Checkpoint 2. The difference \(g_1-g_2\) pairs to zero against every \(\varphi\); apply the lemma.
Checkpoint 3. If \(g_1\) and \(g_2\) are candidates, set \(h=g_1-g_2\). The defining identities imply that \(h\) annihilates every test function, so the fundamental lemma gives \(h=0\) a.e.
3. Learning check.
Uniqueness is an application of the fundamental lemma to the difference of two candidates.
4. Complete step-by-step solution.
Statement. Let \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\). If \(\int_\Omega g\varphi\,dx=0\) for every \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), then \(g=0\) a.e. in \(\Omega\). (Proof by mollification: Ex 1.24.)
Uniqueness of weak derivatives. Suppose \(g_1,g_2\in L^1_{loc}(\Omega)\) both satisfy \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int g_i\varphi\) for all \(\varphi\). Subtracting the two identities, \((-1)^{|\alpha|}\int(g_1-g_2)\varphi=0\), hence \(\int(g_1-g_2)\varphi=0\) for every \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). Since \(g_1-g_2\in L^1_{loc}\), the fundamental lemma gives \(g_1-g_2=0\) a.e., i.e. \(g_1=g_2\) a.e.
Thus the notation \(D^\alpha u\) is well defined as an element of \(L^1_{loc}\) modulo null sets: there is at most one weak derivative. ∎
1. Objectif.
Énoncez le lemme fondamental du calcul des variations (du Bois-Reymond) : si \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) et \(\int_\Omega g\varphi\,dx=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), alors \(g=0\) presque partout. Déduisez-en qu'une dérivée faible, quand elle existe, est unique à égalité p.p. près.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Si \(g_1\) et \(g_2\) sont toutes deux dérivées faibles \(D^\alpha u\), soustrayez les deux identités définissantes.
Étape 2. La différence \(g_1-g_2\) se couple à zéro contre toute \(\varphi\) ; appliquez le lemme.
Étape 3. Si \(g_1\) et \(g_2\) sont deux candidats, posez \(h=g_1-g_2\). Les identités de définition montrent que \(h\) annule toute fonction test ; le lemme fondamental donne donc \(h=0\) p.p.
3. Point d’apprentissage.
L’unicité est une application du lemme fondamental à la différence de deux candidats.
4. Solution complète, étape par étape.
Énoncé. Soit \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\). Si \(\int_\Omega g\varphi\,dx=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), alors \(g=0\) p.p. dans \(\Omega\). (Démonstration par régularisation : Ex 1.24.)
Unicité des dérivées faibles. Supposons que \(g_1,g_2\in L^1_{loc}(\Omega)\) vérifient toutes deux \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int g_i\varphi\) pour toute \(\varphi\). En soustrayant les deux identités, \((-1)^{|\alpha|}\int(g_1-g_2)\varphi=0\), d'où \(\int(g_1-g_2)\varphi=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\). Comme \(g_1-g_2\in L^1_{loc}\), le lemme fondamental donne \(g_1-g_2=0\) p.p., c'est-à-dire \(g_1=g_2\) p.p.
Ainsi la notation \(D^\alpha u\) est bien définie comme élément de \(L^1_{loc}\) modulo les ensembles négligeables : il existe au plus une dérivée faible. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Classical integration by parts on \(\mathbb R^n\); definition of weak derivative. · <b>Expected method:</b> integrate by parts against \(\varphi\in C_c^\infty\); iterate for higher order. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove the consistency of the weak derivative with the classical one: if \(u\in C^1(\Omega)\), then its classical partial \(\partial_i u\) is also its weak derivative. State and justify the extension to \(u\in C^k(\Omega)\) and \(D^\alpha\) with \(|\alpha|\le k\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Fix the support \(K=\operatorname{supp}\varphi\) and apply the divergence theorem to \(u\varphi\,e_i\) on a large ball containing \(K\); the boundary integral vanishes.
Checkpoint 2. For \(|\alpha|\le k\), each of the \(|\alpha|\) integrations by parts is legitimate because \(u\in C^k\); the accumulated sign is \((-1)^{|\alpha|}\).
Checkpoint 3. For higher order, move one derivative at a time from \(\varphi\) to \(u\). Each move contributes one minus sign; after \(|\alpha|\) steps the factor is \((-1)^{|\alpha|}\).
3. Learning check.
Consistency comes from moving derivatives from the test function back onto a smooth function and tracking every sign.
4. Complete step-by-step solution.
First order. Let \(u\in C^1(\Omega)\), \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), \(K=\operatorname{supp}\varphi\). The product \(u\varphi\in C^1_c(\Omega)\), and \(\partial_i(u\varphi)=(\partial_i u)\varphi+u\,\partial_i\varphi\). Integrating over \(\Omega\) and using that \(u\varphi\) has compact support (so \(\int_\Omega\partial_i(u\varphi)\,dx=0\) by the divergence theorem on a ball containing \(K\)), \[0=\int_\Omega(\partial_i u)\varphi\,dx+\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx,\quad\text{i.e.}\quad\int_\Omega u\,\partial_i\varphi=-\int_\Omega(\partial_i u)\varphi.\] This is the defining identity with \(g=\partial_i u\in C(\Omega)\subset L^1_{loc}\). By uniqueness (Ex 1.9), \(\partial_i u\) is the weak derivative.
Higher order. If \(u\in C^k(\Omega)\) and \(|\alpha|\le k\), then all classical derivatives \(D^\beta u\), \(\beta\le\alpha\), are continuous, so we may integrate by parts \(|\alpha|\) times, moving \(D^\alpha\) from \(\varphi\) onto \(u\) one derivative at a time with no boundary terms. This yields \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int(D^\alpha u)\varphi\), so the classical \(D^\alpha u\) is the weak \(D^\alpha u\). Weak differentiation therefore genuinely extends classical differentiation. ∎
1. Objectif.
Démontrez la cohérence de la dérivée faible avec la dérivée classique : si \(u\in C^1(\Omega)\), alors sa dérivée partielle classique \(\partial_i u\) est aussi sa dérivée faible. Énoncez et justifiez l'extension à \(u\in C^k(\Omega)\) et \(D^\alpha\) avec \(|\alpha|\le k\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Fixez le support \(K=\operatorname{supp}\varphi\) et appliquez le théorème de la divergence à \(u\varphi\,e_i\) sur une grande boule contenant \(K\) ; l'intégrale de bord s'annule.
Étape 2. Pour \(|\alpha|\le k\), chacune des \(|\alpha|\) intégrations par parties est licite car \(u\in C^k\) ; le signe accumulé est \((-1)^{|\alpha|}\).
Étape 3. Pour l’ordre supérieur, déplacez une dérivée à la fois de \(\varphi\) vers \(u\). Chaque déplacement apporte un signe moins ; après \(|\alpha|\) étapes, le facteur est \((-1)^{|\alpha|}\).
3. Point d’apprentissage.
La cohérence vient du transfert des dérivées de la fonction test vers une fonction régulière en suivant chaque signe.
4. Solution complète, étape par étape.
Premier ordre. Soit \(u\in C^1(\Omega)\), \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), \(K=\operatorname{supp}\varphi\). Le produit \(u\varphi\in C^1_c(\Omega)\), et \(\partial_i(u\varphi)=(\partial_i u)\varphi+u\,\partial_i\varphi\). En intégrant sur \(\Omega\) et en utilisant que \(u\varphi\) est à support compact (donc \(\int_\Omega\partial_i(u\varphi)\,dx=0\) par le théorème de la divergence sur une boule contenant \(K\)), \[0=\int_\Omega(\partial_i u)\varphi\,dx+\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx,\quad\text{soit}\quad\int_\Omega u\,\partial_i\varphi=-\int_\Omega(\partial_i u)\varphi.\] C'est l'identité définissante avec \(g=\partial_i u\in C(\Omega)\subset L^1_{loc}\). Par unicité (Ex 1.9), \(\partial_i u\) est la dérivée faible.
Ordre supérieur. Si \(u\in C^k(\Omega)\) et \(|\alpha|\le k\), alors toutes les dérivées classiques \(D^\beta u\), \(\beta\le\alpha\), sont continues, donc on peut intégrer par parties \(|\alpha|\) fois, déplaçant \(D^\alpha\) de \(\varphi\) vers \(u\) une dérivée à la fois sans terme de bord. On obtient \(\int u\,D^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int(D^\alpha u)\varphi\), donc le \(D^\alpha u\) classique est le \(D^\alpha u\) faible. La dérivation faible prolonge donc effectivement la dérivation classique. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Partial derivatives; consistency (Ex 1.10). · <b>Expected method:</b> differentiate twice in \(y\), once in \(x\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
In \(\mathbb R^2\) let \(u(x,y)=x^2y^3\) and \(\alpha=(1,2)\). Compute the classical mixed partial \(D^\alpha u=\partial_x\partial_y^2 u\), and record \(|\alpha|\) and \(\alpha!\). Explain why here the weak and classical \(D^\alpha u\) coincide.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. \(\partial_y^2(y^3)=6y\); then multiply by \(x^2\) and apply \(\partial_x\).
Checkpoint 2. A polynomial is \(C^\infty\), so Ex 1.10 guarantees the weak derivative equals the classical one.
Checkpoint 3. Once the mixed partial is computed, invoke Theorem 1.2: the polynomial is smooth, so the classical \(D^\alpha u\) is a representative of the weak derivative.
3. Learning check.
Smooth functions do not acquire a new derivative under the weak definition; the classical derivative is the weak derivative representative.
4. Complete step-by-step solution.
Differentiate twice in \(y\): \(\partial_y^2(x^2y^3)=x^2\cdot6y=6x^2y\). Then once in \(x\): \(\partial_x(6x^2y)=12xy\). Hence \(D^\alpha u=\partial_x\partial_y^2 u=12xy\).
The order is \(|\alpha|=1+2=3\) and \(\alpha!=1!\,\cdot\,2!=2\). Since \(u\) is a polynomial, hence \(C^\infty(\mathbb R^2)\), the consistency result (Ex 1.10) applies for every \(\alpha\): the weak derivative exists and equals the classical \(12xy\). Mixed partials commute here by Schwarz's theorem, so the order of \(\partial_x,\partial_y\) is irrelevant. ∎
1. Objectif.
Dans \(\mathbb R^2\), soit \(u(x,y)=x^2y^3\) et \(\alpha=(1,2)\). Calculez la dérivée partielle mixte classique \(D^\alpha u=\partial_x\partial_y^2 u\), et notez \(|\alpha|\) et \(\alpha!\). Expliquez pourquoi, ici, les \(D^\alpha u\) faible et classique coïncident.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. \(\partial_y^2(y^3)=6y\) ; multipliez ensuite par \(x^2\) et appliquez \(\partial_x\).
Étape 2. Un polynôme est \(C^\infty\), donc l'Ex 1.10 garantit que la dérivée faible égale la dérivée classique.
Étape 3. Une fois la dérivée mixte calculée, invoquez le théorème 1.2 : le polynôme est régulier, donc le \(D^\alpha u\) classique représente aussi la dérivée faible.
3. Point d’apprentissage.
Les fonctions régulières n’acquièrent pas une nouvelle dérivée sous la définition faible ; la dérivée classique représente la dérivée faible.
4. Solution complète, étape par étape.
Dérivons deux fois en \(y\) : \(\partial_y^2(x^2y^3)=x^2\cdot6y=6x^2y\). Puis une fois en \(x\) : \(\partial_x(6x^2y)=12xy\). D'où \(D^\alpha u=\partial_x\partial_y^2 u=12xy\).
L'ordre vaut \(|\alpha|=1+2=3\) et \(\alpha!=1!\,\cdot\,2!=2\). Comme \(u\) est un polynôme, donc \(C^\infty(\mathbb R^2)\), le résultat de cohérence (Ex 1.10) s'applique pour tout \(\alpha\) : la dérivée faible existe et vaut la dérivée classique \(12xy\). Les dérivées mixtes commutent ici par le théorème de Schwarz, donc l'ordre de \(\partial_x,\partial_y\) est indifférent. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative; Ex 1.8 method. · <b>Expected method:</b> split at \(0\); the boundary terms leave \(2\varphi(0)\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Show that the sign function \(\operatorname{sgn}\) has no weak derivative in \(L^1_{loc}(-1,1)\) by computing \(\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)\,dx\). Identify the distributional derivative and the role played by the jump.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. \(\int_0^1\varphi'-\int_{-1}^0\varphi'=(-\varphi(0))-(\varphi(0))=-2\varphi(0)\).
Checkpoint 2. A weak derivative \(g\) would force \(\int g\varphi=2\varphi(0)\); the same contradiction as for \(H\) rules it out.
Checkpoint 3. Splitting at \(0\) gives \(\int\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)dx=-2\varphi(0)\). Therefore the distributional derivative is \(2\delta_0\), which cannot be represented by an \(L^1_{loc}\) function.
3. Learning check.
A jump of height \(J\) contributes \(J\delta\) to the distributional derivative; for \(\operatorname{sgn}\), the jump height is \(2\).
4. Complete step-by-step solution.
Since \(\operatorname{sgn}=-1\) on \((-1,0)\) and \(+1\) on \((0,1)\), \[\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'\,dx=-\int_{-1}^0\varphi'+\int_0^1\varphi'=-(\varphi(0)-\varphi(-1))+(\varphi(1)-\varphi(0))=-2\varphi(0),\] using \(\varphi(\pm1)=0\).
If a weak derivative \(g\in L^1_{loc}\) existed, then \(-\int g\varphi=-2\varphi(0)\), i.e. \(\int g\varphi=2\varphi(0)\) for all \(\varphi\). Testing with \(\varphi\) supported in \((0,1)\) and in \((-1,0)\) forces \(g=0\) a.e. by the fundamental lemma, whence \(2\varphi(0)=0\) for all \(\varphi\) - false. So no weak derivative exists.
The distributional derivative is \(2\delta_0\): the jump of \(\operatorname{sgn}\) across \(0\) has height \(2\), and the derivative of a step is a Dirac mass weighted by the jump height. This is honest bookkeeping - the derivative is a genuine distribution, not an \(L^1_{loc}\) function. ∎
1. Objectif.
Montrez que la fonction signe \(\operatorname{sgn}\) n'a pas de dérivée faible dans \(L^1_{loc}(-1,1)\) en calculant \(\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)\,dx\). Identifiez la dérivée au sens des distributions et le rôle joué par le saut.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. \(\int_0^1\varphi'-\int_{-1}^0\varphi'=(-\varphi(0))-(\varphi(0))=-2\varphi(0)\).
Étape 2. Une dérivée faible \(g\) forcerait \(\int g\varphi=2\varphi(0)\) ; la même contradiction que pour \(H\) l'exclut.
Étape 3. La coupure en \(0\) donne \(\int\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)dx=-2\varphi(0)\). La dérivée distributionnelle est donc \(2\delta_0\), qui ne peut être représentée par une fonction de \(L^1_{loc}\).
3. Point d’apprentissage.
Un saut de hauteur \(J\) contribue \(J\delta\) à la dérivée distributionnelle ; pour \(\operatorname{sgn}\), la hauteur du saut vaut \(2\).
4. Solution complète, étape par étape.
Comme \(\operatorname{sgn}=-1\) sur \((-1,0)\) et \(+1\) sur \((0,1)\), \[\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'\,dx=-\int_{-1}^0\varphi'+\int_0^1\varphi'=-(\varphi(0)-\varphi(-1))+(\varphi(1)-\varphi(0))=-2\varphi(0),\] avec \(\varphi(\pm1)=0\).
Si une dérivée faible \(g\in L^1_{loc}\) existait, alors \(-\int g\varphi=-2\varphi(0)\), soit \(\int g\varphi=2\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\). En testant avec \(\varphi\) à support dans \((0,1)\) puis dans \((-1,0)\) on force \(g=0\) p.p. par le lemme fondamental, d'où \(2\varphi(0)=0\) pour toute \(\varphi\) - faux. Aucune dérivée faible n'existe.
La dérivée au sens des distributions est \(2\delta_0\) : le saut de \(\operatorname{sgn}\) en \(0\) a hauteur \(2\), et la dérivée d'un échelon est une masse de Dirac pondérée par la hauteur du saut. C'est une comptabilité honnête - la dérivée est une véritable distribution, non une fonction de \(L^1_{loc}\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Definition of weak derivative; piecewise integration by parts. · <b>Expected method:</b> split at \(x=1\); continuity of \(u\) there kills the boundary term. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
On \((0,2)\) let \(u(x)=x^2\) for \(0<x\le1\) and \(u(x)=x\) for \(1<x<2\). This \(u\) is continuous but has a corner at \(x=1\). Show directly that its weak derivative is \(g(x)=2x\) on \((0,1)\) and \(g(x)=1\) on \((1,2)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Integrate by parts on \((0,1)\) and \((1,2)\) separately; the interior boundary values are \(u(1^-)\varphi(1)\) and \(u(1^+)\varphi(1)\).
Checkpoint 2. Since \(u(1^-)=1=u(1^+)\), the two interior contributions \(\pm u(1)\varphi(1)\) cancel; no Dirac appears because there is no jump.
Checkpoint 3. At \(x=1\), check the two boundary terms explicitly. They cancel because the left and right values of \(u\) are both \(1\); the derivative may jump even though \(u\) remains weakly differentiable.
3. Learning check.
Continuity of the function, not continuity of its classical derivative, is what cancels interface boundary values in this piecewise calculation.
4. Complete step-by-step solution.
Let \(\varphi\in C_c^\infty(0,2)\). Split at the corner: \[\int_0^2 u\varphi'=\int_0^1 x^2\varphi'+\int_1^2 x\,\varphi'.\]
On \((0,1)\): \(\int_0^1 x^2\varphi'=\big[x^2\varphi\big]_0^1-\int_0^1 2x\varphi=1\cdot\varphi(1)-\int_0^1 2x\varphi\), since \(\varphi(0)\) is multiplied by \(0^2=0\).
On \((1,2)\): \(\int_1^2 x\varphi'=\big[x\varphi\big]_1^2-\int_1^2\varphi=-1\cdot\varphi(1)-\int_1^2\varphi\), since \(\varphi(2)=0\).
The interior terms \(+\varphi(1)\) and \(-\varphi(1)\) cancel because \(u\) is continuous at \(1\). Hence \(\int_0^2 u\varphi'=-\int_0^1 2x\varphi-\int_1^2\varphi=-\int_0^2 g\varphi\) with \(g=2x\) on \((0,1)\) and \(1\) on \((1,2)\). So \(u'=g\) weakly; \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). The corner produces no singular part precisely because \(u\) does not jump. ∎
1. Objectif.
Sur \((0,2)\), soit \(u(x)=x^2\) pour \(0<x\le1\) et \(u(x)=x\) pour \(1<x<2\). Cette \(u\) est continue mais présente un coin en \(x=1\). Montrez directement que sa dérivée faible est \(g(x)=2x\) sur \((0,1)\) et \(g(x)=1\) sur \((1,2)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Intégrez par parties sur \((0,1)\) et \((1,2)\) séparément ; les valeurs de bord intérieures sont \(u(1^-)\varphi(1)\) et \(u(1^+)\varphi(1)\).
Étape 2. Comme \(u(1^-)=1=u(1^+)\), les deux contributions intérieures \(\pm u(1)\varphi(1)\) se compensent ; aucun Dirac n'apparaît car il n'y a pas de saut.
Étape 3. En \(x=1\), vérifiez explicitement les deux termes de bord. Ils se compensent car les valeurs gauche et droite de \(u\) valent toutes deux \(1\) ; la dérivée peut sauter alors que \(u\) reste faiblement dérivable.
3. Point d’apprentissage.
C’est la continuité de la fonction, et non celle de sa dérivée classique, qui annule les valeurs de bord aux interfaces dans ce calcul par morceaux.
4. Solution complète, étape par étape.
Soit \(\varphi\in C_c^\infty(0,2)\). Coupons au coin : \[\int_0^2 u\varphi'=\int_0^1 x^2\varphi'+\int_1^2 x\,\varphi'.\]
Sur \((0,1)\) : \(\int_0^1 x^2\varphi'=\big[x^2\varphi\big]_0^1-\int_0^1 2x\varphi=1\cdot\varphi(1)-\int_0^1 2x\varphi\), car \(\varphi(0)\) est multipliée par \(0^2=0\).
Sur \((1,2)\) : \(\int_1^2 x\varphi'=\big[x\varphi\big]_1^2-\int_1^2\varphi=-1\cdot\varphi(1)-\int_1^2\varphi\), car \(\varphi(2)=0\).
Les termes intérieurs \(+\varphi(1)\) et \(-\varphi(1)\) se compensent car \(u\) est continue en \(1\). D'où \(\int_0^2 u\varphi'=-\int_0^1 2x\varphi-\int_1^2\varphi=-\int_0^2 g\varphi\) avec \(g=2x\) sur \((0,1)\) et \(1\) sur \((1,2)\). Donc \(u'=g\) au sens faible ; \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). Le coin ne produit aucune partie singulière précisément parce que \(u\) ne saute pas. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Mollifiers (Ex 1.15, 1.18, 1.20); classical product rule. · <b>Expected method:</b> mollify \(u,v\), apply the classical rule, pass to the limit in \(L^1_{loc}\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove the Leibniz (product) rule for weak derivatives in one dimension: if \(u,v\) and their weak derivatives \(u',v'\) all lie in \(L^\infty_{loc}(a,b)\), then \(uv\) has weak derivative \((uv)'=u'v+uv'\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Set \(u_\varepsilon=\eta_\varepsilon*u\), \(v_\varepsilon=\eta_\varepsilon*v\), smooth on any interior subinterval; \(u_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*u'\) etc. (Ex 1.18).
Checkpoint 2. Classically \((u_\varepsilon v_\varepsilon)'=u_\varepsilon'v_\varepsilon+u_\varepsilon v_\varepsilon'\); test against \(\varphi\) and integrate by parts.
Checkpoint 3. On \(K=\operatorname{supp}\varphi\), \(u_\varepsilon\to u\), \(v_\varepsilon\to v\) uniformly-in-\(L^1\) while the other factor stays bounded in \(L^\infty(K)\); this lets products converge in \(L^1(K)\).
3. Learning check.
In one dimension, the product-rule proof can be carried out locally using locally absolutely continuous representatives; local boundedness keeps all products integrable.
4. Complete step-by-step solution.
Fix \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) and let \(K=\operatorname{supp}\varphi\), with a slightly larger compact \(K'\subset(a,b)\). For small \(\varepsilon\) the mollifications \(u_\varepsilon=\eta_\varepsilon*u,\ v_\varepsilon=\eta_\varepsilon*v\) are \(C^\infty\) on a neighbourhood of \(K\), with \(u_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*u',\ v_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*v'\) (Ex 1.18). By the classical product rule and integration by parts, \[\int u_\varepsilon v_\varepsilon\,\varphi'=-\int (u_\varepsilon v_\varepsilon)'\varphi=-\int(u_\varepsilon'v_\varepsilon+u_\varepsilon v_\varepsilon')\varphi.\]
Now let \(\varepsilon\to0\). On \(K\), \(u_\varepsilon\to u\) and \(v_\varepsilon\to v\) in \(L^1(K)\) (Ex 1.20), and by the local \(L^\infty\) bounds \(\sup_\varepsilon\|u_\varepsilon\|_{L^\infty(K)}\le\|u\|_{L^\infty(K')}\), likewise for \(v,u',v'\). Writing \(u_\varepsilon v_\varepsilon-uv=(u_\varepsilon-u)v_\varepsilon+u(v_\varepsilon-v)\) and using bounded factor times \(L^1\)-small factor, \(u_\varepsilon v_\varepsilon\to uv\) in \(L^1(K)\); similarly \(u_\varepsilon'v_\varepsilon\to u'v\) and \(u_\varepsilon v_\varepsilon'\to uv'\) in \(L^1(K)\).
Passing to the limit in the displayed identity (all integrands converge in \(L^1(K)\), \(\varphi,\varphi'\) bounded), \[\int uv\,\varphi'=-\int(u'v+uv')\varphi\qquad\forall\varphi\in C_c^\infty(a,b).\] Since \(u'v+uv'\in L^1_{loc}\), this is exactly the statement \((uv)'=u'v+uv'\) weakly. ∎
1. Objectif.
Démontrez la règle de Leibniz (règle du produit) pour les dérivées faibles en dimension un : si \(u,v\) et leurs dérivées faibles \(u',v'\) appartiennent toutes à \(L^\infty_{loc}(a,b)\), alors \(uv\) admet la dérivée faible \((uv)'=u'v+uv'\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Posez \(u_\varepsilon=\eta_\varepsilon*u\), \(v_\varepsilon=\eta_\varepsilon*v\), régulières sur tout sous-intervalle intérieur ; \(u_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*u'\), etc. (Ex 1.18).
Étape 2. Classiquement \((u_\varepsilon v_\varepsilon)'=u_\varepsilon'v_\varepsilon+u_\varepsilon v_\varepsilon'\) ; testez contre \(\varphi\) et intégrez par parties.
Étape 3. Sur \(K=\operatorname{supp}\varphi\), \(u_\varepsilon\to u\), \(v_\varepsilon\to v\) dans \(L^1\) tandis que l'autre facteur reste borné dans \(L^\infty(K)\) ; les produits convergent alors dans \(L^1(K)\).
3. Point d’apprentissage.
En dimension un, la démonstration de la règle du produit peut être menée localement à l'aide de représentants localement absolument continus ; la bornitude locale assure l’intégrabilité de tous les produits.
4. Solution complète, étape par étape.
Fixons \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) et posons \(K=\operatorname{supp}\varphi\), avec un compact légèrement plus grand \(K'\subset(a,b)\). Pour \(\varepsilon\) petit, les régularisées \(u_\varepsilon=\eta_\varepsilon*u,\ v_\varepsilon=\eta_\varepsilon*v\) sont \(C^\infty\) au voisinage de \(K\), avec \(u_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*u',\ v_\varepsilon'=\eta_\varepsilon*v'\) (Ex 1.18). Par la règle classique du produit et intégration par parties, \[\int u_\varepsilon v_\varepsilon\,\varphi'=-\int (u_\varepsilon v_\varepsilon)'\varphi=-\int(u_\varepsilon'v_\varepsilon+u_\varepsilon v_\varepsilon')\varphi.\]
Faisons \(\varepsilon\to0\). Sur \(K\), \(u_\varepsilon\to u\) et \(v_\varepsilon\to v\) dans \(L^1(K)\) (Ex 1.20), et par les bornes locales \(L^\infty\), \(\sup_\varepsilon\|u_\varepsilon\|_{L^\infty(K)}\le\|u\|_{L^\infty(K')}\), de même pour \(v,u',v'\). En écrivant \(u_\varepsilon v_\varepsilon-uv=(u_\varepsilon-u)v_\varepsilon+u(v_\varepsilon-v)\) et en utilisant facteur borné fois facteur petit dans \(L^1\), \(u_\varepsilon v_\varepsilon\to uv\) dans \(L^1(K)\) ; de même \(u_\varepsilon'v_\varepsilon\to u'v\) et \(u_\varepsilon v_\varepsilon'\to uv'\) dans \(L^1(K)\).
En passant à la limite dans l'identité affichée (tous les intégrands convergent dans \(L^1(K)\), \(\varphi,\varphi'\) bornées), \[\int uv\,\varphi'=-\int(u'v+uv')\varphi\qquad\forall\varphi\in C_c^\infty(a,b).\] Comme \(u'v+uv'\in L^1_{loc}\), c'est exactement l'énoncé \((uv)'=u'v+uv'\) au sens faible. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Smoothness of \(e^{-1/t}\); differentiation under the integral. · <b>Expected method:</b> check the bump is smooth; differentiate the convolution by moving \(D^\alpha\) onto \(\eta_\varepsilon\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Let \(\eta(x)=C\exp\!\big(\tfrac{1}{|x|^2-1}\big)\) for \(|x|<1\) and \(0\) otherwise, with \(C\) chosen so \(\int\eta=1\), and set \(\eta_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\). Show \(\eta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\int\eta_\varepsilon=1\), and \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subset\overline{B(0,\varepsilon)}\). If \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), prove for \(x\in\Omega_\varepsilon\) that \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_\Omega\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy\) is \(C^\infty\) and satisfies \(D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=(D^\alpha\eta_\varepsilon)*u\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. The one-variable function \(t\mapsto e^{-1/t}\) (extended by \(0\) for \(t\le0\)) is \(C^\infty\) with all derivatives \(0\) at \(t=0\); compose with \(t=1-|x|^2\).
Checkpoint 2. Write \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int\eta_\varepsilon(x-y)u(y)\,dy\) and differentiate in \(x\); the integrand's \(x\)-derivatives are dominated locally by an \(L^1\) bound, justifying differentiation under the integral.
Checkpoint 3. For \(x\in\Omega_\varepsilon\), the kernel \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) is supported inside \(\Omega\). Differentiate the smooth kernel under the integral; do not differentiate the rough function \(u\).
3. Learning check.
Mollification differentiates the smooth kernel, not the rough input; interior points are needed so the kernel support remains inside the domain.
4. Complete step-by-step solution.
Smoothness of the bump. Let \(f(t)=e^{-1/t}\) for \(t>0\), \(f(t)=0\) for \(t\le0\). A standard induction shows \(f\in C^\infty(\mathbb R)\) with \(f^{(k)}(0)=0\) for all \(k\) (each derivative is \(P(1/t)e^{-1/t}\to0\)). Then \(\eta(x)=C f(1-|x|^2)\) is a composition of \(C^\infty\) maps, hence \(\eta\in C^\infty(\mathbb R^n)\); it vanishes for \(|x|\ge1\), so \(\operatorname{supp}\eta=\overline{B(0,1)}\) and \(\eta\in C_c^\infty\). The constant \(C\) normalizes \(\int\eta=1\).
Scaling. By the change of variables \(y=x/\varepsilon\), \(\int\eta_\varepsilon=\int\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\,dx=\int\eta(y)\,dy=1\), and \(\eta_\varepsilon(x)=0\) unless \(|x/\varepsilon|<1\), i.e. \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subset\overline{B(0,\varepsilon)}\).
Smoothness of the convolution. For \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), fix \(x_0\in\Omega_\varepsilon\) and choose \(R>0\) so small that \(\overline{B(x_0,R+\varepsilon)}\subset\Omega\). For \(x\in B(x_0,R)\), \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{B(x_0,R+\varepsilon)}\eta_\varepsilon(x-y)u(y)\,dy\), an integral over a fixed compact set. Since \(\eta_\varepsilon\in C_c^\infty\), the integrand is smooth in \(x\) and its \(x\)-derivatives \(D_x^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)\) are bounded by \(\|D^\alpha\eta_\varepsilon\|_\infty\), while \(u\in L^1\) on that compact set. Dominated convergence justifies differentiating under the integral, giving \(\eta_\varepsilon*u\in C^\infty\) and \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int (D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)u(y)\,dy=\big((D^\alpha\eta_\varepsilon)*u\big)(x).\] ∎
1. Objectif.
Soit \(\eta(x)=C\exp\!\big(\tfrac{1}{|x|^2-1}\big)\) pour \(|x|<1\) et \(0\) sinon, où \(C\) est choisie de sorte que \(\int\eta=1\), et posons \(\eta_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\). Montrez que \(\eta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\int\eta_\varepsilon=1\), et \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subset\overline{B(0,\varepsilon)}\). Si \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), démontrez pour \(x\in\Omega_\varepsilon\) que \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_\Omega\eta_\varepsilon(x-y)u(y)dy\) est \(C^\infty\) et vérifie \(D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=(D^\alpha\eta_\varepsilon)*u\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. La fonction d'une variable \(t\mapsto e^{-1/t}\) (prolongée par \(0\) pour \(t\le0\)) est \(C^\infty\), toutes ses dérivées nulles en \(t=0\) ; composez avec \(t=1-|x|^2\).
Étape 2. Écrivez \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int\eta_\varepsilon(x-y)u(y)\,dy\) et dérivez en \(x\) ; les dérivées en \(x\) de l'intégrand sont localement dominées par une borne \(L^1\), ce qui justifie la dérivation sous l'intégrale.
Étape 3. Pour \(x\in\Omega_\varepsilon\), le noyau \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) est supporté dans \(\Omega\). Dérivez le noyau régulier sous le signe intégral ; ne dérivez pas la fonction irrégulière \(u\).
3. Point d’apprentissage.
La régularisation dérive le noyau régulier, non la donnée irrégulière ; les points intérieurs sont nécessaires pour que le support du noyau reste dans le domaine.
4. Solution complète, étape par étape.
Régularité de la cloche. Soit \(f(t)=e^{-1/t}\) pour \(t>0\), \(f(t)=0\) pour \(t\le0\). Une récurrence standard montre \(f\in C^\infty(\mathbb R)\) avec \(f^{(k)}(0)=0\) pour tout \(k\) (chaque dérivée est \(P(1/t)e^{-1/t}\to0\)). Alors \(\eta(x)=C f(1-|x|^2)\) est une composée d'applications \(C^\infty\), donc \(\eta\in C^\infty(\mathbb R^n)\) ; elle s'annule pour \(|x|\ge1\), donc \(\operatorname{supp}\eta=\overline{B(0,1)}\) et \(\eta\in C_c^\infty\). La constante \(C\) normalise \(\int\eta=1\).
Changement d'échelle. Par le changement de variables \(y=x/\varepsilon\), \(\int\eta_\varepsilon=\int\varepsilon^{-n}\eta(x/\varepsilon)\,dx=\int\eta(y)\,dy=1\), et \(\eta_\varepsilon(x)=0\) sauf si \(|x/\varepsilon|<1\), soit \(\operatorname{supp}\eta_\varepsilon\subset\overline{B(0,\varepsilon)}\).
Régularité de la convolution. Pour \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), fixons \(x_0\in\Omega_\varepsilon\) et choisissons \(R>0\) assez petit pour que \(\overline{B(x_0,R+\varepsilon)}\subset\Omega\). Pour \(x\in B(x_0,R)\), \((\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_{B(x_0,R+\varepsilon)}\eta_\varepsilon(x-y)u(y)\,dy\), intégrale sur un compact fixe. Comme \(\eta_\varepsilon\in C_c^\infty\), l'intégrand est régulier en \(x\) et ses dérivées \(D_x^\alpha\eta_\varepsilon(x-y)\) sont bornées par \(\|D^\alpha\eta_\varepsilon\|_\infty\), tandis que \(u\in L^1\) sur ce compact. La convergence dominée justifie la dérivation sous l'intégrale, donnant \(\eta_\varepsilon*u\in C^\infty\) et \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int (D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)u(y)\,dy=\big((D^\alpha\eta_\varepsilon)*u\big)(x).\] ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> AC characterization (Ex 1.21); classical chain rule for AC functions. · <b>Expected method:</b> use the AC representative and the classical composition of AC with \(C^1\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove the chain rule for weak derivatives: if \(F\in C^1(\mathbb R)\) has bounded derivative \(F'\), and \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) has weak derivative \(u'\in L^1_{loc}(a,b)\), then \(F(u)\) has weak derivative \(F'(u)\,u'\). Use the locally absolutely continuous representative of \(u\) given by the one-dimensional characterization.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. If \(u\) is AC and \(F\in C^1\) with \(F'\) bounded, then \(F\circ u\) is AC and \((F\circ u)'=F'(u)u'\) a.e. by the classical chain rule for AC functions.
Checkpoint 2. An AC function on \([c,d]\) has weak derivative equal to its a.e. classical derivative (Ex 1.21); apply this to \(F\circ u\).
Checkpoint 3. Use the locally absolutely continuous representative of \(u\), restricted to the compact interval under consideration. The classical chain rule for absolutely continuous functions gives \((F\circ u)'=F'(u)u'\) a.e.; boundedness of \(F'\) ensures the product is locally integrable.
3. Learning check.
The chain rule is inherited locally from the locally absolutely continuous representative, and the bounded derivative of \(F\) controls integrability.
4. Complete step-by-step solution.
Work on an arbitrary compact \([c,d]\subset(a,b)\); the weak derivative is a local notion, so this suffices. Take the AC representative of \(u\), still called \(u\), so that \(u(y)-u(x)=\int_x^y u'\) and \(u'\) is the a.e. classical derivative (Ex 1.21). Since \(F'\) is bounded, \(F\) is Lipschitz, and the composition of a Lipschitz \(C^1\) map with an AC function is AC: for a partition, \(\sum|F(u(b_k))-F(u(a_k))|\le\|F'\|_\infty\sum|u(b_k)-u(a_k)|\), and the right side is small when \(\sum|b_k-a_k|\) is small because \(u\) is AC. Hence \(F\circ u\) is AC on \([c,d]\).
By the classical chain rule for AC functions (valid because \(F\in C^1\)), \((F\circ u)'(x)=F'(u(x))u'(x)\) for a.e. \(x\), and this product lies in \(L^1(c,d)\) since \(F'(u)\) is bounded and \(u'\in L^1\). An AC function equals the indefinite integral of its a.e. derivative, so by Ex 1.21 its weak derivative is exactly that a.e. derivative: \[\int_c^d F(u)\varphi'=-\int_c^d F'(u)u'\,\varphi\qquad\forall\varphi\in C_c^\infty(c,d).\] As \([c,d]\) was arbitrary, \(F(u)\) has weak derivative \(F'(u)u'\) on \((a,b)\). ∎
1. Objectif.
Démontrez la règle de dérivation composée pour les dérivées faibles : si \(F\in C^1(\mathbb R)\) a une dérivée bornée \(F'\), et si \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) admet une dérivée faible \(u'\in L^1_{loc}(a,b)\), alors \(F(u)\) admet la dérivée faible \(F'(u)\,u'\). Utilisez le représentant localement absolument continu de \(u\) fourni par la caractérisation unidimensionnelle.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Si \(u\) est AC et \(F\in C^1\) avec \(F'\) bornée, alors \(F\circ u\) est AC et \((F\circ u)'=F'(u)u'\) p.p. par la règle composée classique pour fonctions AC.
Étape 2. Une fonction AC sur \([c,d]\) a pour dérivée faible sa dérivée classique p.p. (Ex 1.21) ; appliquez-le à \(F\circ u\).
Étape 3. Utilisez le représentant localement absolument continu de \(u\), restreint à l’intervalle compact considéré. La règle de chaîne classique pour les fonctions absolument continues donne \((F\circ u)'=F'(u)u'\) p.p. ; la bornitude de \(F'\) assure l’intégrabilité locale du produit.
3. Point d’apprentissage.
La règle de chaîne est héritée localement du représentant localement absolument continu, et la dérivée bornée de \(F\) contrôle l’intégrabilité.
4. Solution complète, étape par étape.
Travaillons sur un compact quelconque \([c,d]\subset(a,b)\) ; la dérivée faible étant une notion locale, cela suffit. Prenons le représentant AC de \(u\), encore noté \(u\), de sorte que \(u(y)-u(x)=\int_x^y u'\) et que \(u'\) soit la dérivée classique p.p. (Ex 1.21). Comme \(F'\) est bornée, \(F\) est lipschitzienne, et la composée d'une application \(C^1\) lipschitzienne avec une fonction AC est AC : pour une subdivision, \(\sum|F(u(b_k))-F(u(a_k))|\le\|F'\|_\infty\sum|u(b_k)-u(a_k)|\), et le membre de droite est petit lorsque \(\sum|b_k-a_k|\) l'est, car \(u\) est AC. Donc \(F\circ u\) est AC sur \([c,d]\).
Par la règle composée classique pour fonctions AC (valide car \(F\in C^1\)), \((F\circ u)'(x)=F'(u(x))u'(x)\) pour p.p. \(x\), et ce produit est dans \(L^1(c,d)\) puisque \(F'(u)\) est bornée et \(u'\in L^1\). Une fonction AC est l'intégrale indéfinie de sa dérivée p.p., donc par l'Ex 1.21 sa dérivée faible est exactement cette dérivée p.p. : \[\int_c^d F(u)\varphi'=-\int_c^d F'(u)u'\,\varphi\qquad\forall\varphi\in C_c^\infty(c,d).\] Comme \([c,d]\) était arbitraire, \(F(u)\) admet la dérivée faible \(F'(u)u'\) sur \((a,b)\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Multi-index definition; Ex 1.3; Fubini. · <b>Expected method:</b> reduce each partial to a one-dimensional integral by Fubini. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Define the weak partial derivative \(\partial_i u\) and the weak gradient \(\nabla u=(\partial_1u,\dots,\partial_nu)\) for \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), \(\Omega\subset\mathbb R^n\). Then verify that \(u(x)=|x_1|\) on \(\mathbb R^n\) has weak gradient \(\nabla u=(\operatorname{sgn}(x_1),0,\dots,0)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. \(\partial_i u=g_i\) means \(\int_\Omega u\,\partial_i\varphi=-\int_\Omega g_i\varphi\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\); the gradient collects the \(n\) first-order weak partials.
Checkpoint 2. For \(\partial_1\), integrate first in \(x_1\) using the 1D result for \(|x_1|\); for \(i\ge2\), \(u\) does not depend on \(x_i\) so \(\int u\,\partial_i\varphi=0\).
Checkpoint 3. For the \(x_1\)-derivative, integrate first in \(x_1\) and use the one-dimensional \(|x_1|\) calculation; Fubini then restores the other variables. For \(i\ge2\), the function is independent of \(x_i\).
3. Learning check.
Weak partial derivatives can be verified one coordinate at a time, using Fubini to reduce to a one-dimensional identity.
4. Complete step-by-step solution.
Definitions. For \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), \(g_i\in L^1_{loc}(\Omega)\) is the weak partial \(\partial_i u\) if \(\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega g_i\varphi\,dx\) for all \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) (the case \(\alpha=e_i\)). The weak gradient is \(\nabla u=(\partial_1 u,\dots,\partial_n u)\), when all \(n\) weak partials exist.
The partials for \(i\ge2\). Write \(x=(x_1,x')\). By Fubini, \(\int_{\mathbb R^n}|x_1|\,\partial_i\varphi\,dx=\int_{\mathbb R}|x_1|\Big(\int_{\mathbb R^{n-1}}\partial_i\varphi\,dx'\Big)dx_1\). For \(i\ge2\), the inner integral is \(\int_{\mathbb R^{n-1}}\partial_i\varphi\,dx'=0\) (integral of a derivative of a compactly supported function). Hence \(\int|x_1|\partial_i\varphi=0=-\int0\cdot\varphi\), so \(\partial_i u=0\) for \(i\ge2\).
The partial for \(i=1\). By Fubini, \(\int_{\mathbb R^n}|x_1|\,\partial_1\varphi\,dx=\int_{\mathbb R^{n-1}}\Big(\int_{\mathbb R}|x_1|\,\partial_1\varphi\,dx_1\Big)dx'\). For each fixed \(x'\), \(x_1\mapsto\varphi(x_1,x')\in C_c^\infty(\mathbb R)\), and the 1D computation (Ex 1.3) gives \(\int_{\mathbb R}|x_1|\partial_1\varphi\,dx_1=-\int_{\mathbb R}\operatorname{sgn}(x_1)\varphi\,dx_1\). Reintegrating in \(x'\), \(\int|x_1|\partial_1\varphi=-\int\operatorname{sgn}(x_1)\varphi\). Thus \(\partial_1 u=\operatorname{sgn}(x_1)\).
Collecting, \(\nabla u=(\operatorname{sgn}(x_1),0,\dots,0)\), which is bounded, hence in \(L^1_{loc}\). ∎
1. Objectif.
Définissez la dérivée partielle faible \(\partial_i u\) et le gradient faible \(\nabla u=(\partial_1u,\dots,\partial_nu)\) pour \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), \(\Omega\subset\mathbb R^n\). Puis vérifiez que \(u(x)=|x_1|\) sur \(\mathbb R^n\) a pour gradient faible \(\nabla u=(\operatorname{sgn}(x_1),0,\dots,0)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. \(\partial_i u=g_i\) signifie \(\int_\Omega u\,\partial_i\varphi=-\int_\Omega g_i\varphi\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) ; le gradient rassemble les \(n\) dérivées partielles faibles d'ordre un.
Étape 2. Pour \(\partial_1\), intégrez d'abord en \(x_1\) via le résultat 1D pour \(|x_1|\) ; pour \(i\ge2\), \(u\) ne dépend pas de \(x_i\) donc \(\int u\,\partial_i\varphi=0\).
Étape 3. Pour la dérivée en \(x_1\), intégrez d’abord par rapport à \(x_1\) et utilisez le calcul unidimensionnel pour \(|x_1|\) ; Fubini réintroduit ensuite les autres variables. Pour \(i\ge2\), la fonction ne dépend pas de \(x_i\).
3. Point d’apprentissage.
Les dérivées partielles faibles peuvent être vérifiées coordonnée par coordonnée, Fubini ramenant le calcul à une identité unidimensionnelle.
4. Solution complète, étape par étape.
Définitions. Pour \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\), \(g_i\in L^1_{loc}(\Omega)\) est la dérivée partielle faible \(\partial_i u\) si \(\int_\Omega u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_\Omega g_i\varphi\,dx\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) (cas \(\alpha=e_i\)). Le gradient faible est \(\nabla u=(\partial_1 u,\dots,\partial_n u)\), lorsque les \(n\) dérivées partielles faibles existent.
Les dérivées pour \(i\ge2\). Écrivons \(x=(x_1,x')\). Par Fubini, \(\int_{\mathbb R^n}|x_1|\,\partial_i\varphi\,dx=\int_{\mathbb R}|x_1|\Big(\int_{\mathbb R^{n-1}}\partial_i\varphi\,dx'\Big)dx_1\). Pour \(i\ge2\), l'intégrale intérieure vaut \(\int_{\mathbb R^{n-1}}\partial_i\varphi\,dx'=0\) (intégrale d'une dérivée d'une fonction à support compact). D'où \(\int|x_1|\partial_i\varphi=0=-\int0\cdot\varphi\), donc \(\partial_i u=0\) pour \(i\ge2\).
La dérivée pour \(i=1\). Par Fubini, \(\int_{\mathbb R^n}|x_1|\,\partial_1\varphi\,dx=\int_{\mathbb R^{n-1}}\Big(\int_{\mathbb R}|x_1|\,\partial_1\varphi\,dx_1\Big)dx'\). Pour chaque \(x'\) fixé, \(x_1\mapsto\varphi(x_1,x')\in C_c^\infty(\mathbb R)\), et le calcul 1D (Ex 1.3) donne \(\int_{\mathbb R}|x_1|\partial_1\varphi\,dx_1=-\int_{\mathbb R}\operatorname{sgn}(x_1)\varphi\,dx_1\). En réintégrant en \(x'\), \(\int|x_1|\partial_1\varphi=-\int\operatorname{sgn}(x_1)\varphi\). Donc \(\partial_1 u=\operatorname{sgn}(x_1)\).
Au total, \(\nabla u=(\operatorname{sgn}(x_1),0,\dots,0)\), qui est bornée, donc dans \(L^1_{loc}\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.15; definition of weak derivative. · <b>Expected method:</b> for fixed \(x\in\Omega_\varepsilon\), use \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) as a legitimate test function. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Suppose \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) has weak derivative \(D^\alpha u\in L^1_{loc}(\Omega)\). Show that mollification commutes with weak differentiation: on \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\) one has \(D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*(D^\alpha u)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. By Ex 1.15, \(D_x^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int (D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)u(y)\,dy\). Note \(D_x^\alpha[\eta_\varepsilon(x-y)]=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha[\eta_\varepsilon(x-y)]\).
Checkpoint 2. For \(x\in\Omega_\varepsilon\), \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) lies in \(C_c^\infty(\Omega)\); apply the definition of \(D^\alpha u\) to it.
Checkpoint 3. Fix \(x\in\Omega_\varepsilon\) and use \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) as the test function in the definition of \(D^\alpha u\). The sign from differentiating in \(x\) cancels the sign in the weak derivative identity.
3. Learning check.
The commutation formula is a direct consequence of using a translated mollifier as the test function and cancelling the two sign factors.
4. Complete step-by-step solution.
Fix \(x\in\Omega_\varepsilon\). Then \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) is supported in \(\overline{B(x,\varepsilon)}\subset\Omega\), so \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) is an admissible test function. By Ex 1.15, differentiation passes onto the kernel: \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_\Omega \big(D_x^\alpha\eta_\varepsilon\big)(x-y)\,u(y)\,dy.\]
Since \(\eta_\varepsilon(x-y)\) depends on \(x-y\), each \(x\)-derivative equals \((-1)\) times the corresponding \(y\)-derivative, so \((D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha\big[\eta_\varepsilon(x-y)\big]=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha\varphi(y)\). Hence \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega u(y)\,D_y^\alpha\varphi(y)\,dy.\]
Applying the definition of the weak derivative \(D^\alpha u\) to \(\varphi\), \(\int u\,D_y^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int (D^\alpha u)\varphi\). Therefore \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\,\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=\big(\eta_\varepsilon*(D^\alpha u)\big)(x),\] using \((-1)^{2|\alpha|}=1\). This holds for every \(x\in\Omega_\varepsilon\). ∎
1. Objectif.
Supposons que \(u\in L^1_{loc}(\Omega)\) admette une dérivée faible \(D^\alpha u\in L^1_{loc}(\Omega)\). Montrez que la régularisation commute avec la dérivation faible : sur \(\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}\) on a \(D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)=\eta_\varepsilon*(D^\alpha u)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Par l'Ex 1.15, \(D_x^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int (D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)u(y)\,dy\). Notez \(D_x^\alpha[\eta_\varepsilon(x-y)]=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha[\eta_\varepsilon(x-y)]\).
Étape 2. Pour \(x\in\Omega_\varepsilon\), \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) appartient à \(C_c^\infty(\Omega)\) ; appliquez-lui la définition de \(D^\alpha u\).
Étape 3. Fixez \(x\in\Omega_\varepsilon\) et utilisez \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) comme fonction test dans la définition de \(D^\alpha u\). Le signe provenant de la dérivation en \(x\) compense celui de l’identité de dérivation faible.
3. Point d’apprentissage.
La formule de commutation découle directement de l’utilisation d’un noyau régularisant translaté comme fonction test et de l’annulation des deux facteurs de signe.
4. Solution complète, étape par étape.
Fixons \(x\in\Omega_\varepsilon\). Alors \(\varphi(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) est à support dans \(\overline{B(x,\varepsilon)}\subset\Omega\), donc \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\) est une fonction test admissible. Par l'Ex 1.15, la dérivation passe sur le noyau : \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=\int_\Omega \big(D_x^\alpha\eta_\varepsilon\big)(x-y)\,u(y)\,dy.\]
Comme \(\eta_\varepsilon(x-y)\) dépend de \(x-y\), chaque dérivée en \(x\) vaut \((-1)\) fois la dérivée correspondante en \(y\), donc \((D_x^\alpha\eta_\varepsilon)(x-y)=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha\big[\eta_\varepsilon(x-y)\big]=(-1)^{|\alpha|}D_y^\alpha\varphi(y)\). D'où \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega u(y)\,D_y^\alpha\varphi(y)\,dy.\]
En appliquant la définition de la dérivée faible \(D^\alpha u\) à \(\varphi\), \(\int u\,D_y^\alpha\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int (D^\alpha u)\varphi\). Par conséquent \[D^\alpha(\eta_\varepsilon*u)(x)=(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega (D^\alpha u)(y)\,\eta_\varepsilon(x-y)\,dy=\big(\eta_\varepsilon*(D^\alpha u)\big)(x),\] via \((-1)^{2|\alpha|}=1\). Ceci vaut pour tout \(x\in\Omega_\varepsilon\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Polar/spherical coordinates; convergence of \(\int_0^1 r^s\,dr\). · <b>Expected method:</b> the only issue is at \(0\); reduce to a radial integral. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Show that \(u(x)=|x|^{-\gamma}\) belongs to \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) if and only if \(\gamma<n\). Use polar coordinates on a ball around the origin.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. In polar coordinates \(dx=\omega_{n-1}r^{n-1}\,dr\,d\sigma\) with \(\omega_{n-1}=|\mathbb S^{n-1}|\); so \(\int_{B_1}|x|^{-\gamma}dx=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{n-1-\gamma}dr\).
Checkpoint 2. \(\int_0^1 r^{s}\,dr<\infty\) iff \(s>-1\). Here \(s=n-1-\gamma\), so finiteness means \(\gamma<n\).
Checkpoint 3. Near the origin, polar coordinates reduce the question to \(\int_0^R r^{n-1-\gamma}dr\), which is finite exactly when \(n-1-\gamma>-1\), i.e. \(\gamma<n\).
3. Learning check.
For radial singularities, the decisive exponent is the radial power after multiplying by the Jacobian \(r^{n-1}\).
4. Complete step-by-step solution.
Away from the origin \(u\) is continuous, hence locally integrable on any compact avoiding \(0\). The only possible obstruction to local integrability is the singularity at \(0\), so it suffices to test integrability over the unit ball \(B_1=B(0,1)\).
In polar coordinates, \(\int_{B_1}|x|^{-\gamma}\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{-\gamma}\,r^{n-1}\,dr=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{\,n-1-\gamma}\,dr\), where \(\omega_{n-1}=|\mathbb S^{n-1}|\). The integral \(\int_0^1 r^{s}\,dr\) converges iff \(s>-1\), i.e. \(n-1-\gamma>-1\), i.e. \(\gamma<n\); in that case its value is \(\frac{1}{n-\gamma}\).
If \(\gamma<n\), then \(u\) is integrable near \(0\) and continuous elsewhere, so \(u\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). If \(\gamma\ge n\), then \(\int_{B_\delta}|x|^{-\gamma}=+\infty\) for every \(\delta>0\), and no compact neighbourhood of \(0\) has finite integral, so \(u\notin L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Hence \(u\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\iff\gamma<n\). ∎
1. Objectif.
Montrez que \(u(x)=|x|^{-\gamma}\) appartient à \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) si et seulement si \(\gamma<n\). Utilisez les coordonnées polaires sur une boule centrée à l'origine.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. En coordonnées polaires \(dx=\omega_{n-1}r^{n-1}\,dr\,d\sigma\) avec \(\omega_{n-1}=|\mathbb S^{n-1}|\) ; donc \(\int_{B_1}|x|^{-\gamma}dx=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{n-1-\gamma}dr\).
Étape 2. \(\int_0^1 r^{s}\,dr<\infty\) ssi \(s>-1\). Ici \(s=n-1-\gamma\), donc la finitude équivaut à \(\gamma<n\).
Étape 3. Près de l’origine, les coordonnées polaires réduisent la question à \(\int_0^R r^{n-1-\gamma}dr\), qui est finie exactement lorsque \(n-1-\gamma>-1\), c’est-à-dire \(\gamma<n\).
3. Point d’apprentissage.
Pour les singularités radiales, l’exposant décisif est celui obtenu après multiplication par le jacobien \(r^{n-1}\).
4. Solution complète, étape par étape.
Hors de l'origine, \(u\) est continue, donc localement intégrable sur tout compact évitant \(0\). La seule obstruction possible à l'intégrabilité locale est la singularité en \(0\), il suffit donc de tester l'intégrabilité sur la boule unité \(B_1=B(0,1)\).
En coordonnées polaires, \(\int_{B_1}|x|^{-\gamma}\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{-\gamma}\,r^{n-1}\,dr=\omega_{n-1}\int_0^1 r^{\,n-1-\gamma}\,dr\), où \(\omega_{n-1}=|\mathbb S^{n-1}|\). L'intégrale \(\int_0^1 r^{s}\,dr\) converge ssi \(s>-1\), soit \(n-1-\gamma>-1\), soit \(\gamma<n\) ; dans ce cas sa valeur est \(\frac{1}{n-\gamma}\).
Si \(\gamma<n\), alors \(u\) est intégrable près de \(0\) et continue ailleurs, donc \(u\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Si \(\gamma\ge n\), alors \(\int_{B_\delta}|x|^{-\gamma}=+\infty\) pour tout \(\delta>0\), et aucun voisinage compact de \(0\) n'a d'intégrale finie, donc \(u\notin L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Ainsi \(u\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\iff\gamma<n\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Young/Jensen for convolutions; density of \(C_c\) in \(L^p\); uniform continuity. · <b>Expected method:</b> three-epsilon argument via a continuous approximant. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove that for \(u\in L^p_{loc}(\Omega)\), \(1\le p<\infty\), the mollifications converge locally: \(\eta_\varepsilon*u\to u\) in \(L^p(K)\) for every compact \(K\subset\Omega\), as \(\varepsilon\to0\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Since \(\eta_\varepsilon\ge0\) with \(\int\eta_\varepsilon=1\), Jensen/Young gives \(\|\eta_\varepsilon*f\|_{L^p}\le\|f\|_{L^p}\): mollification is a contraction on a fixed larger compact.
Checkpoint 2. Pick \(g\in C_c\) with \(\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta\) on a slightly enlarged compact \(K'\); split \(\eta_\varepsilon*u-u\) using \(g\).
Checkpoint 3. For continuous \(g\), \(\eta_\varepsilon*g\to g\) uniformly on \(K\) by uniform continuity, so its \(L^p(K)\) error \(\to0\).
3. Learning check.
Local mollifier convergence is controlled by continuity of translations in \(L^p\); the compact set must stay a positive distance from the boundary.
4. Complete step-by-step solution.
Fix compact \(K\subset\Omega\) and choose \(K'\) compact with \(K\subset\operatorname{int}K'\subset K'\subset\Omega\) and \(\operatorname{dist}(K,\partial K')>0\); for \(\varepsilon\) small, \(\eta_\varepsilon*u\) on \(K\) only sees \(u\) restricted to \(K'\). We may thus assume \(u\in L^p(K')\).
Contraction. For \(f\in L^p(K')\) and small \(\varepsilon\), Jensen's inequality with the probability measure \(\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\) gives \(|\eta_\varepsilon*f(x)|^p\le\int\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)|^p\,dy\); integrating over \(K\) and using Fubini and \(\int\eta_\varepsilon=1\), \(\|\eta_\varepsilon*f\|_{L^p(K)}\le\|f\|_{L^p(K')}\).
Three-epsilon. Given \(\delta>0\), pick \(g\in C_c(\Omega)\) with \(\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta\) (density of continuous functions in \(L^p\)). Then \[\|\eta_\varepsilon*u-u\|_{L^p(K)}\le\underbrace{\|\eta_\varepsilon*(u-g)\|_{L^p(K)}}_{\le\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta}+\|\eta_\varepsilon*g-g\|_{L^p(K)}+\underbrace{\|g-u\|_{L^p(K)}}_{<\delta}.\]
For the middle term, \(g\) is uniformly continuous, so given \(\delta\) there is \(\varepsilon_0\) with \(|g(x-z)-g(x)|<\delta\) for \(|z|<\varepsilon_0\); then \(|\eta_\varepsilon*g(x)-g(x)|\le\int\eta_\varepsilon(z)|g(x-z)-g(x)|\,dz<\delta\) for \(\varepsilon<\varepsilon_0\), uniformly on \(K\), whence \(\|\eta_\varepsilon*g-g\|_{L^p(K)}\le\delta\,|K|^{1/p}\). Thus \(\limsup_{\varepsilon\to0}\|\eta_\varepsilon*u-u\|_{L^p(K)}\le2\delta+\delta|K|^{1/p}\). Since \(\delta>0\) is arbitrary, the limit is \(0\). ∎
1. Objectif.
Démontrez que pour \(u\in L^p_{loc}(\Omega)\), \(1\le p<\infty\), les régularisées convergent localement : \(\eta_\varepsilon*u\to u\) dans \(L^p(K)\) pour tout compact \(K\subset\Omega\), quand \(\varepsilon\to0\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Comme \(\eta_\varepsilon\ge0\) avec \(\int\eta_\varepsilon=1\), Jensen/Young donne \(\|\eta_\varepsilon*f\|_{L^p}\le\|f\|_{L^p}\) : la régularisation est une contraction sur un compact plus grand fixé.
Étape 2. Choisissez \(g\in C_c\) avec \(\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta\) sur un compact légèrement agrandi \(K'\) ; décomposez \(\eta_\varepsilon*u-u\) au moyen de \(g\).
Étape 3. Pour \(g\) continue, \(\eta_\varepsilon*g\to g\) uniformément sur \(K\) par continuité uniforme, donc son erreur \(L^p(K)\to0\).
3. Point d’apprentissage.
La convergence locale des régularisées est contrôlée par la continuité des translations dans \(L^p\) ; le compact doit rester à distance positive du bord.
4. Solution complète, étape par étape.
Fixons un compact \(K\subset\Omega\) et choisissons \(K'\) compact avec \(K\subset\operatorname{int}K'\subset K'\subset\Omega\) et \(\operatorname{dist}(K,\partial K')>0\) ; pour \(\varepsilon\) petit, \(\eta_\varepsilon*u\) sur \(K\) ne voit que \(u\) restreinte à \(K'\). On peut donc supposer \(u\in L^p(K')\).
Contraction. Pour \(f\in L^p(K')\) et \(\varepsilon\) petit, l'inégalité de Jensen avec la mesure de probabilité \(\eta_\varepsilon(x-y)\,dy\) donne \(|\eta_\varepsilon*f(x)|^p\le\int\eta_\varepsilon(x-y)|f(y)|^p\,dy\) ; en intégrant sur \(K\) et par Fubini avec \(\int\eta_\varepsilon=1\), \(\|\eta_\varepsilon*f\|_{L^p(K)}\le\|f\|_{L^p(K')}\).
Trois epsilons. Étant donné \(\delta>0\), choisissons \(g\in C_c(\Omega)\) avec \(\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta\) (densité des fonctions continues dans \(L^p\)). Alors \[\|\eta_\varepsilon*u-u\|_{L^p(K)}\le\underbrace{\|\eta_\varepsilon*(u-g)\|_{L^p(K)}}_{\le\|u-g\|_{L^p(K')}<\delta}+\|\eta_\varepsilon*g-g\|_{L^p(K)}+\underbrace{\|g-u\|_{L^p(K)}}_{<\delta}.\]
Pour le terme central, \(g\) est uniformément continue, donc pour \(\delta\) il existe \(\varepsilon_0\) tel que \(|g(x-z)-g(x)|<\delta\) pour \(|z|<\varepsilon_0\) ; alors \(|\eta_\varepsilon*g(x)-g(x)|\le\int\eta_\varepsilon(z)|g(x-z)-g(x)|\,dz<\delta\) pour \(\varepsilon<\varepsilon_0\), uniformément sur \(K\), d'où \(\|\eta_\varepsilon*g-g\|_{L^p(K)}\le\delta\,|K|^{1/p}\). Ainsi \(\limsup_{\varepsilon\to0}\|\eta_\varepsilon*u-u\|_{L^p(K)}\le2\delta+\delta|K|^{1/p}\). Comme \(\delta>0\) est arbitraire, la limite vaut \(0\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Absolutely continuous functions; FTC for the Lebesgue integral. · <b>Expected method:</b> for an AC \(\tilde u\), integrate by parts using Fubini on \(\int\tilde u\varphi'\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
State the one-dimensional local absolute-continuity characterization: a function \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) has a weak derivative \(u'=g\in L^1_{loc}(a,b)\) if and only if \(u\) has a locally absolutely continuous representative \(\tilde u\in AC_{loc}(a,b)\) with \(\tilde u'(x)=g(x)\) a.e. and \(\tilde u(y)-\tilde u(x)=\int_x^y g\). Verify the "if" direction in detail.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Write \(\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g\) and substitute into \(\int\tilde u\varphi'\); swap the order of integration.
Checkpoint 2. The constant \(\tilde u(x_0)\) integrates against \(\varphi'\) to zero because \(\int\varphi'=0\); the Fubini swap produces \(-\int g\varphi\).
Checkpoint 3. For the 'if' direction, work on a compact interval containing \(\operatorname{supp}\varphi\). The absolutely continuous integration-by-parts formula gives the weak identity directly, and changing representatives on a null set does not change either integral.
3. Learning check.
The local-AC characterization is a statement about representatives: weak differentiability of an \(L^1_{loc}\) class corresponds to a locally absolutely continuous version of that class.
4. Complete step-by-step solution.
Statement. For \(u\in L^1_{loc}(a,b)\): \(u\) has weak derivative \(g\in L^1_{loc}(a,b)\) iff \(u\) agrees a.e. with a locally absolutely continuous \(\tilde u\in AC_{loc}(a,b)\) satisfying \(\tilde u(y)-\tilde u(x)=\int_x^y g\,dt\) for all \(x,y\), equivalently \(\tilde u'=g\) a.e. (Lebesgue's differentiation theorem).
Proof of "if". Suppose such a locally AC representative \(\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g\,dt\) exists; changing \(u\) on a null set does not affect the integrals defining the weak derivative, so we may take \(u=\tilde u\). Let \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\), supported in \([c,d]\subset(a,b)\). Then \[\int_c^d u\varphi'\,dx=\int_c^d\Big(\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g(t)\,dt\Big)\varphi'(x)\,dx.\] The constant term gives \(\tilde u(x_0)\int_c^d\varphi'=\tilde u(x_0)(\varphi(d)-\varphi(c))=0\).
For the remaining term, write \(\int_{x_0}^x g(t)\,dt=\int_c^d g(t)\,\mathbf 1_{\{t\text{ between }x_0,x\}}\,dt\) and apply Fubini (justified since \(g\in L^1(c,d)\) and \(\varphi'\) is bounded). A clean way: for \(t\in(c,d)\), \(\int_c^d \mathbf 1_{\{x>t\}}\varphi'(x)\,dx=\int_t^d\varphi'=-\varphi(t)\). Choosing \(x_0=c\), \(\int_{c}^x g=\int_c^d g(t)\mathbf 1_{\{x>t\}}dt\), so \[\int_c^d\Big(\int_c^x g\Big)\varphi'\,dx=\int_c^d g(t)\Big(\int_c^d\mathbf 1_{\{x>t\}}\varphi'\,dx\Big)dt=-\int_c^d g(t)\varphi(t)\,dt.\] Hence \(\int u\varphi'=-\int g\varphi\) for all \(\varphi\), i.e. \(u'=g\) weakly. The "only if" direction is Ex 1.23. ∎
1. Objectif.
Énoncez la caractérisation par continuité absolue locale en dimension un : une fonction \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) admet une dérivée faible \(u'=g\in L^1_{loc}(a,b)\) si et seulement si \(u\) possède un représentant localement absolument continu \(\tilde u\in AC_{loc}(a,b)\) avec \(\tilde u'(x)=g(x)\) p.p. et \(\tilde u(y)-\tilde u(x)=\int_x^y g\). Vérifiez en détail le sens « si » (représentant AC ⇒ dérivée faible).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Écrivez \(\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g\) et substituez dans \(\int\tilde u\varphi'\) ; échangez l'ordre d'intégration.
Étape 2. La constante \(\tilde u(x_0)\) intégrée contre \(\varphi'\) donne zéro car \(\int\varphi'=0\) ; l'échange de Fubini produit \(-\int g\varphi\).
Étape 3. Pour l’implication « si », travaillez sur un intervalle compact contenant \(\operatorname{supp}\varphi\). La formule d’intégration par parties pour les fonctions absolument continues donne directement l’identité faible, et changer de représentant sur un ensemble nul ne modifie aucune des deux intégrales.
3. Point d’apprentissage.
La caractérisation par la continuité absolue locale porte sur les représentants : la dérivabilité faible d’une classe \(L^1_{loc}\) correspond à une version localement absolument continue de cette classe.
4. Solution complète, étape par étape.
Énoncé. Pour \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) : \(u\) admet une dérivée faible \(g\in L^1_{loc}(a,b)\) ssi \(u\) coïncide p.p. avec une fonction localement absolument continue \(\tilde u\in AC_{loc}(a,b)\) vérifiant \(\tilde u(y)-\tilde u(x)=\int_x^y g\,dt\) pour tous \(x,y\), de façon équivalente \(\tilde u'=g\) p.p. (théorème de différentiation de Lebesgue).
Preuve du sens « si ». Supposons qu'un tel représentant localement AC \(\tilde u(x)=\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g\,dt\) existe ; modifier \(u\) sur un ensemble négligeable n'affecte pas les intégrales définissant la dérivée faible, on peut donc prendre \(u=\tilde u\). Soit \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\), à support dans \([c,d]\subset(a,b)\). Alors \[\int_c^d u\varphi'\,dx=\int_c^d\Big(\tilde u(x_0)+\int_{x_0}^x g(t)\,dt\Big)\varphi'(x)\,dx.\] Le terme constant donne \(\tilde u(x_0)\int_c^d\varphi'=\tilde u(x_0)(\varphi(d)-\varphi(c))=0\).
Pour le terme restant, écrivons \(\int_{x_0}^x g(t)\,dt=\int_c^d g(t)\,\mathbf 1_{\{t\text{ entre }x_0,x\}}\,dt\) et appliquons Fubini (licite car \(g\in L^1(c,d)\) et \(\varphi'\) bornée). Proprement : pour \(t\in(c,d)\), \(\int_c^d \mathbf 1_{\{x>t\}}\varphi'(x)\,dx=\int_t^d\varphi'=-\varphi(t)\). En choisissant \(x_0=c\), \(\int_{c}^x g=\int_c^d g(t)\mathbf 1_{\{x>t\}}dt\), donc \[\int_c^d\Big(\int_c^x g\Big)\varphi'\,dx=\int_c^d g(t)\Big(\int_c^d\mathbf 1_{\{x>t\}}\varphi'\,dx\Big)dt=-\int_c^d g(t)\varphi(t)\,dt.\] D'où \(\int u\varphi'=-\int g\varphi\) pour toute \(\varphi\), soit \(u'=g\) au sens faible. Le sens « seulement si » est l'Ex 1.23. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.19; excising a small ball; divergence theorem. · <b>Expected method:</b> integrate by parts on \(\{|x|>\delta\}\) and let \(\delta\to0\), showing the sphere term vanishes. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Let \(n\ge2\). Show that \(u(x)=\log|x|\) lies in \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) and has weak gradient represented almost everywhere by \(\nabla u=x/|x|^2\) for \(x\ne0\) (with any value assigned at \(x=0\)), with \(|\nabla u|=1/|x|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Contrast this with \(n=1\), where \(\log|x|\) has no weak derivative in \(L^1_{loc}\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Local integrability: \(\int_{B_1}|\log|x||\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1|\log r|\,r^{n-1}dr<\infty\) for \(n\ge1\).
Checkpoint 2. Classically \(\nabla\log|x|=x/|x|^2\) for \(x\ne0\), with \(|x/|x|^2|=1/|x|\); by Ex 1.19 this is \(L^1_{loc}\) iff \(1<n\).
Checkpoint 3. On \(\partial B_\delta\), \(|\log\delta|\) times the surface area \(\omega_{n-1}\delta^{n-1}\) tends to \(0\) as \(\delta\to0\) when \(n\ge2\).
3. Learning check.
The same singular formula can behave differently with dimension because the volume element contributes \(r^{n-1}\).
4. Complete step-by-step solution.
Local integrability. In polar coordinates \(\int_{B_1}|\log|x||\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1|\log r|\,r^{n-1}\,dr\), finite for every \(n\ge1\) since \(r^{n-1}|\log r|\to0\) and \(\int_0^1|\log r|\,dr=1\). So \(\log|x|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\).
Weak gradient for \(n\ge2\). For \(x\ne0\), classically \(\partial_i\log|x|=x_i/|x|^2\), and \(|\nabla u|=1/|x|=|x|^{-1}\), which by Ex 1.19 lies in \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) iff \(1<n\), i.e. \(n\ge2\). Fix \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\) and \(\delta>0\). On \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), so integration by parts (divergence theorem) gives \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi\,dx+\int_{|x|=\delta}u\,\varphi\,\nu_i\,dS,\] where \(\nu=-x/|x|\) is the outer normal of \(\{|x|>\delta\}\). The surface term is bounded by \(|\log\delta|\,\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}\to0\) as \(\delta\to0\) (since \(n-1\ge1\)). The two volume integrals converge to \(\int u\,\partial_i\varphi\) and \(-\int(\partial_i u)\varphi\) by dominated convergence (\(u\) and \(\partial_i u\) are \(L^1_{loc}\)). Hence \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\), so \(\partial_i u=x_i/|x|^2\) weakly.
Contrast \(n=1\). Here \((\log|x|)'=1/x\notin L^1_{loc}(-1,1)\) (Ex 1.7), so no \(L^1_{loc}\) weak derivative exists; the distributional derivative is the principal value \(\mathrm{p.v.}\,\tfrac1x\), which is not a function. The gain for \(n\ge2\) is exactly that the surface area \(\delta^{n-1}\) beats the logarithmic blow-up. ∎
1. Objectif.
Soit \(n\ge2\). Montrez que \(u(x)=\log|x|\) appartient à \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) et a pour gradient faible, représenté presque partout par \(\nabla u=x/|x|^2\) pour \(x\ne0\) (avec une valeur arbitraire en \(x=0\)), avec \(|\nabla u|=1/|x|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Comparez avec \(n=1\), où \(\log|x|\) n'a pas de dérivée faible dans \(L^1_{loc}\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Intégrabilité locale : \(\int_{B_1}|\log|x||\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1|\log r|\,r^{n-1}dr<\infty\) pour \(n\ge1\).
Étape 2. Classiquement \(\nabla\log|x|=x/|x|^2\) pour \(x\ne0\), avec \(|x/|x|^2|=1/|x|\) ; par l'Ex 1.19 ceci est \(L^1_{loc}\) ssi \(1<n\).
Étape 3. Sur \(\partial B_\delta\), \(|\log\delta|\) fois l'aire \(\omega_{n-1}\delta^{n-1}\) tend vers \(0\) quand \(\delta\to0\) pour \(n\ge2\).
3. Point d’apprentissage.
La même formule singulière peut se comporter différemment selon la dimension, car l’élément de volume apporte \(r^{n-1}\).
4. Solution complète, étape par étape.
Intégrabilité locale. En coordonnées polaires \(\int_{B_1}|\log|x||\,dx=\omega_{n-1}\int_0^1|\log r|\,r^{n-1}\,dr\), finie pour tout \(n\ge1\) car \(r^{n-1}|\log r|\to0\) et \(\int_0^1|\log r|\,dr=1\). Donc \(\log|x|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\).
Gradient faible pour \(n\ge2\). Pour \(x\ne0\), classiquement \(\partial_i\log|x|=x_i/|x|^2\), et \(|\nabla u|=1/|x|=|x|^{-1}\), qui par l'Ex 1.19 est dans \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) ssi \(1<n\), soit \(n\ge2\). Fixons \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\) et \(\delta>0\). Sur \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), donc l'intégration par parties (théorème de la divergence) donne \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi\,dx=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi\,dx+\int_{|x|=\delta}u\,\varphi\,\nu_i\,dS,\] où \(\nu=-x/|x|\) est la normale extérieure de \(\{|x|>\delta\}\). Le terme de surface est majoré par \(|\log\delta|\,\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}\to0\) quand \(\delta\to0\) (car \(n-1\ge1\)). Les deux intégrales de volume convergent vers \(\int u\,\partial_i\varphi\) et \(-\int(\partial_i u)\varphi\) par convergence dominée (\(u\) et \(\partial_i u\) sont \(L^1_{loc}\)). D'où \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\), donc \(\partial_i u=x_i/|x|^2\) au sens faible.
Contraste \(n=1\). Ici \((\log|x|)'=1/x\notin L^1_{loc}(-1,1)\) (Ex 1.7), donc aucune dérivée faible \(L^1_{loc}\) n'existe ; la dérivée au sens des distributions est la valeur principale \(\mathrm{v.p.}\,\tfrac1x\), qui n'est pas une fonction. Le gain pour \(n\ge2\) est précisément que l'aire \(\delta^{n-1}\) l'emporte sur l'explosion logarithmique. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.21 (if direction); Ex 1.26 (weak derivative \(0\Rightarrow\) constant); AC of indefinite integrals. · <b>Expected method:</b> build \(\tilde u\), show \(u-\tilde u\) has weak derivative \(0\), conclude constant. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove the "only if" direction of the local AC characterization: if \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) has weak derivative \(g\in L^1_{loc}(a,b)\), then \(u\) has a locally absolutely continuous representative, namely \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g\,dt\) up to an additive constant. Use that \(u-\tilde u\) has weak derivative \(0\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. The indefinite integral \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g\) is absolutely continuous and, by Ex 1.21, has weak derivative \(g\).
Checkpoint 2. Then \(w=u-\tilde u\) has weak derivative \(g-g=0\); by Ex 1.26, \(w\) is a.e. a constant \(c\), so \(u=\tilde u+c\) a.e.
Checkpoint 3. Define \(w(x)=\int_{x_0}^x g(t)dt\). Then \(w\) is locally absolutely continuous with weak derivative \(g\), so \(u-w\) has weak derivative \(0\). Finish with the zero-derivative-implies-constant lemma.
3. Learning check.
To construct the AC representative, integrate the weak derivative and prove the remaining difference is a.e. constant.
4. Complete step-by-step solution.
Fix \(x_0\in(a,b)\) and set \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g(t)\,dt\). Since \(g\in L^1_{loc}\), \(\tilde u\) is absolutely continuous on every compact subinterval: for disjoint intervals \((a_k,b_k)\), \(\sum_k|\tilde u(b_k)-\tilde u(a_k)|\le\sum_k\int_{a_k}^{b_k}|g|=\int_{\cup(a_k,b_k)}|g|\), which is small when \(\sum_k(b_k-a_k)\) is small by absolute continuity of the integral of \(g\).
By the "if" direction (Ex 1.21), \(\tilde u\) has weak derivative \(g\). Now \(w:=u-\tilde u\in L^1_{loc}(a,b)\) has weak derivative \(u'-\tilde u'=g-g=0\): indeed for all \(\varphi\), \(\int w\varphi'=\int u\varphi'-\int\tilde u\varphi'=-\int g\varphi+\int g\varphi=0\).
By Ex 1.26, a function with weak derivative \(0\) equals a constant \(c\) almost everywhere. Hence \(u=\tilde u+c\) a.e., and \(\tilde u+c\) is the desired locally absolutely continuous representative, with \((\tilde u+c)'=g\) a.e. by Lebesgue's differentiation theorem and \((\tilde u+c)(y)-(\tilde u+c)(x)=\int_x^y g\). ∎
1. Objectif.
Démontrez le sens « seulement si » de la caractérisation AC locale : si \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) admet une dérivée faible \(g\in L^1_{loc}(a,b)\), alors \(u\) possède un représentant localement absolument continu, à savoir \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g\,dt\) à une constante additive près. Utilisez que \(u-\tilde u\) a pour dérivée faible \(0\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. L'intégrale indéfinie \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g\) est absolument continue et, par l'Ex 1.21, a pour dérivée faible \(g\).
Étape 2. Alors \(w=u-\tilde u\) a pour dérivée faible \(g-g=0\) ; par l'Ex 1.26, \(w\) est p.p. une constante \(c\), donc \(u=\tilde u+c\) p.p.
Étape 3. Définissez \(w(x)=\int_{x_0}^x g(t)dt\). Alors \(w\) est localement absolument continue et a pour dérivée faible \(g\), donc \(u-w\) a pour dérivée faible \(0\). Terminez avec le lemme « dérivée nulle implique constante ».
3. Point d’apprentissage.
Pour construire le représentant localement absolument continu, intégrez la dérivée faible puis prouvez que la différence restante est constante p.p.
4. Solution complète, étape par étape.
Fixons \(x_0\in(a,b)\) et posons \(\tilde u(x)=\int_{x_0}^x g(t)\,dt\). Comme \(g\in L^1_{loc}\), \(\tilde u\) est absolument continue sur tout sous-intervalle compact : pour des intervalles disjoints \((a_k,b_k)\), \(\sum_k|\tilde u(b_k)-\tilde u(a_k)|\le\sum_k\int_{a_k}^{b_k}|g|=\int_{\cup(a_k,b_k)}|g|\), qui est petit lorsque \(\sum_k(b_k-a_k)\) l'est, par continuité absolue de l'intégrale de \(g\).
Par le sens « si » (Ex 1.21), \(\tilde u\) a pour dérivée faible \(g\). Alors \(w:=u-\tilde u\in L^1_{loc}(a,b)\) a pour dérivée faible \(u'-\tilde u'=g-g=0\) : en effet pour toute \(\varphi\), \(\int w\varphi'=\int u\varphi'-\int\tilde u\varphi'=-\int g\varphi+\int g\varphi=0\).
Par l'Ex 1.26, une fonction de dérivée faible nulle égale une constante \(c\) presque partout. Donc \(u=\tilde u+c\) p.p., et \(\tilde u+c\) est le représentant localement absolument continu recherché, avec \((\tilde u+c)'=g\) p.p. par le théorème de différentiation de Lebesgue et \((\tilde u+c)(y)-(\tilde u+c)(x)=\int_x^y g\). ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.15, 1.20; the kernel \(y\mapsto\eta_\varepsilon(x-y)\) is a test function. · <b>Expected method:</b> show \(\eta_\varepsilon*g\equiv0\) on interior sets, then let \(\varepsilon\to0\) in \(L^1_{loc}\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove the fundamental lemma of the calculus of variations by mollification: if \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) and \(\int_\Omega g\varphi=0\) for every \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), then \(g=0\) almost everywhere in \(\Omega\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. For \(x\in\Omega_\varepsilon\), \(\varphi_x(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\in C_c^\infty(\Omega)\); the hypothesis gives \((\eta_\varepsilon*g)(x)=\int g\varphi_x=0\).
Checkpoint 2. So \(\eta_\varepsilon*g=0\) identically on \(\Omega_\varepsilon\), for every \(\varepsilon\).
Checkpoint 3. By Ex 1.20, \(\eta_\varepsilon*g\to g\) in \(L^1(K)\) for compact \(K\); a limit of the zero function is zero.
3. Learning check.
The fundamental lemma converts annihilation of every smooth compactly supported test function into an almost-everywhere statement about the original function.
4. Complete step-by-step solution.
Let \(K\subset\Omega\) be compact and choose \(\varepsilon_0>0\) with \(K\subset\Omega_{\varepsilon_0}=\{x:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon_0\}\). Fix \(\varepsilon<\varepsilon_0\) and \(x\in\Omega_\varepsilon\). The function \(\varphi_x(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) has support in \(\overline{B(x,\varepsilon)}\subset\Omega\), so \(\varphi_x\in C_c^\infty(\Omega)\) is admissible. By hypothesis, \[(\eta_\varepsilon*g)(x)=\int_\Omega\eta_\varepsilon(x-y)g(y)\,dy=\int_\Omega g\,\varphi_x=0.\] Thus \(\eta_\varepsilon*g\equiv0\) on \(\Omega_\varepsilon\), in particular on \(K\).
Since \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\subset L^1(K')\) for a compact \(K'\) with \(K\subset\operatorname{int}K'\), Ex 1.20 (case \(p=1\)) gives \(\eta_\varepsilon*g\to g\) in \(L^1(K)\) as \(\varepsilon\to0\). But \(\eta_\varepsilon*g=0\) on \(K\) for all small \(\varepsilon\), so its \(L^1(K)\)-limit is \(0\); by uniqueness of limits \(g=0\) a.e. on \(K\).
Exhausting \(\Omega\) by a countable increasing sequence of compacts \(K_m\uparrow\Omega\), \(g=0\) a.e. on each \(K_m\), hence \(g=0\) a.e. on \(\Omega\). This furnishes the proof cited in Ex 1.9. ∎
1. Objectif.
Démontrez le lemme fondamental du calcul des variations par régularisation : si \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\) et \(\int_\Omega g\varphi=0\) pour toute \(\varphi\in C_c^\infty(\Omega)\), alors \(g=0\) presque partout dans \(\Omega\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Pour \(x\in\Omega_\varepsilon\), \(\varphi_x(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\in C_c^\infty(\Omega)\) ; l'hypothèse donne \((\eta_\varepsilon*g)(x)=\int g\varphi_x=0\).
Étape 2. Donc \(\eta_\varepsilon*g=0\) identiquement sur \(\Omega_\varepsilon\), pour tout \(\varepsilon\).
Étape 3. Par l'Ex 1.20, \(\eta_\varepsilon*g\to g\) dans \(L^1(K)\) pour \(K\) compact ; une limite de la fonction nulle est nulle.
3. Point d’apprentissage.
Le lemme fondamental transforme l’annulation contre toute fonction test lisse à support compact en une conclusion presque partout sur la fonction initiale.
4. Solution complète, étape par étape.
Soit \(K\subset\Omega\) compact et choisissons \(\varepsilon_0>0\) avec \(K\subset\Omega_{\varepsilon_0}=\{x:\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon_0\}\). Fixons \(\varepsilon<\varepsilon_0\) et \(x\in\Omega_\varepsilon\). La fonction \(\varphi_x(y):=\eta_\varepsilon(x-y)\) est à support dans \(\overline{B(x,\varepsilon)}\subset\Omega\), donc \(\varphi_x\in C_c^\infty(\Omega)\) est admissible. Par hypothèse, \[(\eta_\varepsilon*g)(x)=\int_\Omega\eta_\varepsilon(x-y)g(y)\,dy=\int_\Omega g\,\varphi_x=0.\] Ainsi \(\eta_\varepsilon*g\equiv0\) sur \(\Omega_\varepsilon\), en particulier sur \(K\).
Comme \(g\in L^1_{loc}(\Omega)\subset L^1(K')\) pour un compact \(K'\) avec \(K\subset\operatorname{int}K'\), l'Ex 1.20 (cas \(p=1\)) donne \(\eta_\varepsilon*g\to g\) dans \(L^1(K)\) quand \(\varepsilon\to0\). Mais \(\eta_\varepsilon*g=0\) sur \(K\) pour tout \(\varepsilon\) petit, donc sa limite \(L^1(K)\) est \(0\) ; par unicité de la limite \(g=0\) p.p. sur \(K\).
En épuisant \(\Omega\) par une suite croissante dénombrable de compacts \(K_m\uparrow\Omega\), \(g=0\) p.p. sur chaque \(K_m\), donc \(g=0\) p.p. sur \(\Omega\). Ceci fournit la preuve citée à l'Ex 1.9. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.3, 1.12; second-order weak derivative via \(\varphi''\). · <b>Expected method:</b> compute \(\int|x|\varphi''\) and recognize \(2\varphi(0)\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Show that \(u(x)=|x|\) on \((-1,1)\) has first weak derivative \(\operatorname{sgn}\) but no second weak derivative in \(L^1_{loc}(-1,1)\). Identify the second distributional derivative.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. A second weak derivative \(h\) would satisfy \(\int|x|\varphi''=\int h\varphi\) (sign \((-1)^2=1\)). Compute the left side using the first weak derivative \(\operatorname{sgn}\).
Checkpoint 2. \(\int|x|\varphi''=-\int\operatorname{sgn}\varphi'=2\varphi(0)\); no \(L^1_{loc}\) \(h\) can give \(\int h\varphi=2\varphi(0)\).
Checkpoint 3. The first weak derivative is \(\operatorname{sgn}\). Reuse the jump computation for \(\operatorname{sgn}\): its distributional derivative is \(2\delta_0\), so no second weak derivative exists in \(L^1_{loc}\).
3. Learning check.
A first weak derivative may exist while the next one fails because the first derivative itself has a jump and therefore a singular distributional derivative.
4. Complete step-by-step solution.
By Ex 1.3, \(u'=\operatorname{sgn}\) weakly, and \(\operatorname{sgn}\in L^1_{loc}\). For the second derivative we test against \(\varphi''\). Using the first-order identity \(\int|x|\varphi'=-\int\operatorname{sgn}\varphi'\)... more precisely, applying the definition of the weak derivative \(\operatorname{sgn}=u'\) to the test function \(\varphi'\): \[\int_{-1}^1|x|\varphi''\,dx=-\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)\,dx.\] By the computation in Ex 1.12, \(-\int\operatorname{sgn}\varphi'=-(-2\varphi(0))=2\varphi(0)\). Hence \(\int_{-1}^1|x|\varphi''=2\varphi(0)\) for all \(\varphi\).
If a second weak derivative \(h\in L^1_{loc}(-1,1)\) existed, then since \((-1)^{|\alpha|}=(-1)^2=1\), \(\int|x|\varphi''=\int h\varphi\), forcing \(\int h\varphi=2\varphi(0)\) for all \(\varphi\). Testing with \(\varphi\) supported away from \(0\) gives \(h=0\) a.e. by the fundamental lemma, whence \(2\varphi(0)=0\) for all \(\varphi\) - contradiction. So \(|x|\) has no second weak derivative in \(L^1_{loc}\).
The correct object is the distribution \(u''=2\delta_0\): differentiating \(\operatorname{sgn}\) once more produces twice the Dirac mass (its jump of height \(2\) at \(0\)). This is where the ladder of weak derivatives stops being represented by functions - honest accounting requires distributions. ∎
1. Objectif.
Montrez que \(u(x)=|x|\) sur \((-1,1)\) admet pour dérivée faible première \(\operatorname{sgn}\) mais aucune dérivée faible seconde dans \(L^1_{loc}(-1,1)\). Identifiez la dérivée seconde au sens des distributions.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Une dérivée faible seconde \(h\) vérifierait \(\int|x|\varphi''=\int h\varphi\) (signe \((-1)^2=1\)). Calculez le membre de gauche à l'aide de la dérivée faible première \(\operatorname{sgn}\).
Étape 2. \(\int|x|\varphi''=-\int\operatorname{sgn}\varphi'=2\varphi(0)\) ; aucun \(h\in L^1_{loc}\) ne peut donner \(\int h\varphi=2\varphi(0)\).
Étape 3. La première dérivée faible est \(\operatorname{sgn}\). Réutilisez le calcul du saut de \(\operatorname{sgn}\) : sa dérivée distributionnelle est \(2\delta_0\), donc aucune dérivée faible seconde n’existe dans \(L^1_{loc}\).
3. Point d’apprentissage.
Une première dérivée faible peut exister alors que la suivante échoue, parce que la première dérivée présente elle-même un saut et donc une dérivée distributionnelle singulière.
4. Solution complète, étape par étape.
Par l'Ex 1.3, \(u'=\operatorname{sgn}\) au sens faible, et \(\operatorname{sgn}\in L^1_{loc}\). Pour la dérivée seconde on teste contre \(\varphi''\). En appliquant la définition de la dérivée faible \(\operatorname{sgn}=u'\) à la fonction test \(\varphi'\) : \[\int_{-1}^1|x|\varphi''\,dx=-\int_{-1}^1\operatorname{sgn}(x)\varphi'(x)\,dx.\] Par le calcul de l'Ex 1.12, \(-\int\operatorname{sgn}\varphi'=-(-2\varphi(0))=2\varphi(0)\). D'où \(\int_{-1}^1|x|\varphi''=2\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\).
Si une dérivée faible seconde \(h\in L^1_{loc}(-1,1)\) existait, alors comme \((-1)^{|\alpha|}=(-1)^2=1\), \(\int|x|\varphi''=\int h\varphi\), forçant \(\int h\varphi=2\varphi(0)\) pour toute \(\varphi\). En testant avec \(\varphi\) à support hors de \(0\) on obtient \(h=0\) p.p. par le lemme fondamental, d'où \(2\varphi(0)=0\) pour toute \(\varphi\) - contradiction. Donc \(|x|\) n'a pas de dérivée faible seconde dans \(L^1_{loc}\).
L'objet correct est la distribution \(u''=2\delta_0\) : dériver \(\operatorname{sgn}\) une fois de plus produit deux fois la masse de Dirac (son saut de hauteur \(2\) en \(0\)). C'est là que l'échelle des dérivées faibles cesse d'être représentée par des fonctions - une comptabilité honnête requiert les distributions. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Fundamental lemma (Ex 1.24); antiderivatives of test functions. · <b>Expected method:</b> represent test functions with zero mean as derivatives; fix a normalizing bump. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Prove that if \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) has weak derivative \(0\), then \(u\) equals a constant almost everywhere. Do not assume any regularity of \(u\) beyond local integrability.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. If \(\psi\in C_c^\infty(a,b)\) has \(\int\psi=0\), then \(\Phi(x)=\int_a^x\psi\) is again in \(C_c^\infty(a,b)\), and \(\Phi'=\psi\).
Checkpoint 2. Fix \(\rho\in C_c^\infty(a,b)\) with \(\int\rho=1\). For any \(\varphi\in C_c^\infty\), the function \(\psi=\varphi-(\int\varphi)\rho\) has zero mean.
Checkpoint 3. Apply the hypothesis \(\int u\psi'=0\) with \(\psi'=\varphi-(\int\varphi)\rho\); deduce \(\int(u-c)\varphi=0\) with \(c=\int u\rho\).
3. Learning check.
Zero weak derivative determines the function only up to an a.e. constant because weak derivatives act on equivalence classes.
4. Complete step-by-step solution.
The hypothesis says \(\int_a^b u\Phi'=0\) for every \(\Phi\in C_c^\infty(a,b)\) (weak derivative \(0\)). Fix once and for all a bump \(\rho\in C_c^\infty(a,b)\) with \(\int_a^b\rho=1\), and set \(c:=\int_a^b u\rho\,dx\), a finite number since \(u\in L^1_{loc}\) and \(\rho\) has compact support.
Key construction. Let \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) be arbitrary and put \(\psi:=\varphi-\big(\int_a^b\varphi\big)\rho\). Then \(\psi\in C_c^\infty(a,b)\) and \(\int_a^b\psi=\int\varphi-(\int\varphi)\cdot1=0\). Choose \(\operatorname{supp}\psi\subset[c_0,d_0]\subset(a,b)\); the antiderivative \(\Phi(x):=\int_a^x\psi(t)\,dt\) satisfies \(\Phi(x)=0\) for \(x\le c_0\) and, for \(x\ge d_0\), \(\Phi(x)=\int_a^b\psi=0\). Thus \(\Phi\in C_c^\infty(a,b)\) with \(\Phi'=\psi\).
Conclusion. By hypothesis, \(0=\int u\Phi'=\int u\psi=\int u\varphi-\big(\int\varphi\big)\int u\rho=\int u\varphi-c\int\varphi=\int(u-c)\varphi\). Since \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) was arbitrary and \(u-c\in L^1_{loc}\), the fundamental lemma (Ex 1.24) gives \(u-c=0\) a.e., i.e. \(u=c\) almost everywhere. ∎
1. Objectif.
Démontrez que si \(u\in L^1_{loc}(a,b)\) a pour dérivée faible \(0\), alors \(u\) égale une constante presque partout. Ne supposez aucune régularité de \(u\) au-delà de l'intégrabilité locale.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Si \(\psi\in C_c^\infty(a,b)\) vérifie \(\int\psi=0\), alors \(\Phi(x)=\int_a^x\psi\) est encore dans \(C_c^\infty(a,b)\), et \(\Phi'=\psi\).
Étape 2. Fixez \(\rho\in C_c^\infty(a,b)\) avec \(\int\rho=1\). Pour toute \(\varphi\in C_c^\infty\), la fonction \(\psi=\varphi-(\int\varphi)\rho\) est de moyenne nulle.
Étape 3. Appliquez l'hypothèse \(\int u\psi'=0\) avec \(\psi'=\varphi-(\int\varphi)\rho\) ; déduisez \(\int(u-c)\varphi=0\) avec \(c=\int u\rho\).
3. Point d’apprentissage.
Une dérivée faible nulle détermine la fonction seulement à une constante p.p. près, car les dérivées faibles agissent sur des classes d’équivalence.
4. Solution complète, étape par étape.
L'hypothèse dit \(\int_a^b u\Phi'=0\) pour toute \(\Phi\in C_c^\infty(a,b)\) (dérivée faible \(0\)). Fixons une fois pour toutes une cloche \(\rho\in C_c^\infty(a,b)\) avec \(\int_a^b\rho=1\), et posons \(c:=\int_a^b u\rho\,dx\), nombre fini puisque \(u\in L^1_{loc}\) et \(\rho\) à support compact.
Construction clé. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) arbitraire et posons \(\psi:=\varphi-\big(\int_a^b\varphi\big)\rho\). Alors \(\psi\in C_c^\infty(a,b)\) et \(\int_a^b\psi=\int\varphi-(\int\varphi)\cdot1=0\). Choisissons \(\operatorname{supp}\psi\subset[c_0,d_0]\subset(a,b)\) ; la primitive \(\Phi(x):=\int_a^x\psi(t)\,dt\) vérifie \(\Phi(x)=0\) pour \(x\le c_0\) et, pour \(x\ge d_0\), \(\Phi(x)=\int_a^b\psi=0\). Donc \(\Phi\in C_c^\infty(a,b)\) avec \(\Phi'=\psi\).
Conclusion. Par hypothèse, \(0=\int u\Phi'=\int u\psi=\int u\varphi-\big(\int\varphi\big)\int u\rho=\int u\varphi-c\int\varphi=\int(u-c)\varphi\). Comme \(\varphi\in C_c^\infty(a,b)\) était arbitraire et \(u-c\in L^1_{loc}\), le lemme fondamental (Ex 1.24) donne \(u-c=0\) p.p., soit \(u=c\) presque partout. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.19, 1.22; excision of a ball. · <b>Expected method:</b> classical gradient off \(0\); integrability by polar coordinates; sphere term vanishes. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
For \(0<\alpha<1\) consider the cusp \(u(x)=|x|^\alpha\) on \(\mathbb R^n\). Show \(u\) is not classically differentiable at the origin, yet has weak gradient represented almost everywhere for \(x\ne0\) by \(\nabla u=\alpha|x|^{\alpha-2}x\) (with any value assigned at \(0\)), with \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\), so \(u\in W^{1,1}_{loc}(\mathbb R^n)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Along a ray \(x=te\), \(u(te)=t^\alpha\) has one-sided slope \(t^{\alpha-1}\to+\infty\) as \(t\to0^+\) when \(\alpha<1\): no finite gradient at \(0\).
Checkpoint 2. \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}=\alpha|x|^{-(1-\alpha)}\); by Ex 1.19 this is \(L^1_{loc}\) iff \(1-\alpha<n\), always true here.
Checkpoint 3. On \(\partial B_\delta\) the boundary term is \(O(\delta^\alpha\cdot\delta^{n-1})=O(\delta^{n-1+\alpha})\to0\).
3. Learning check.
The cusp is admissible because the gradient singularity is still integrable after accounting for the dimension-dependent volume element.
4. Complete step-by-step solution.
No classical derivative at \(0\). For a unit vector \(e\), \(t\mapsto u(te)=t^\alpha\) (\(t>0\)) has derivative \(\alpha t^{\alpha-1}\to+\infty\) as \(t\to0^+\) because \(\alpha-1<0\). The difference quotients blow up, so \(u\) is not differentiable at the origin (indeed it has a cusp).
Integrability. Away from \(0\), \(u\in C^\infty\) and \(\nabla u=\alpha|x|^{\alpha-2}x\), hence \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}=\alpha|x|^{-(1-\alpha)}\). By Ex 1.19 with \(\gamma=1-\alpha\), \(|\nabla u|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) iff \(1-\alpha<n\); since \(0<\alpha<1\le n\), this always holds. Also \(u=|x|^\alpha\) is continuous, hence \(L^1_{loc}\).
Weak gradient. Fix \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\delta>0\). On \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), so \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi+\int_{|x|=\delta}u\varphi\,\nu_i\,dS,\qquad \nu=-\tfrac{x}{|x|}.\] The sphere term is bounded by \(\delta^\alpha\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}=C\delta^{n-1+\alpha}\to0\) as \(\delta\to0\) (exponent \(>0\)). Since \(u,\partial_i u\in L^1_{loc}\), the volume integrals converge (dominated convergence), giving \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\). Thus \(\partial_i u=\alpha|x|^{\alpha-2}x_i\) weakly for each \(i\), and \(u\) together with \(\nabla u\) lie in \(L^1_{loc}\), i.e. \(u\in W^{1,1}_{loc}(\mathbb R^n)\). The single point \(\{0\}\), of measure zero, contributes no singular part precisely because the boundary term decays. ∎
1. Objectif.
Pour \(0<\alpha<1\), considérons la pointe \(u(x)=|x|^\alpha\) sur \(\mathbb R^n\). Montrez que \(u\) n'est pas classiquement différentiable à l'origine, mais admet un gradient faible représenté presque partout, pour \(x\ne0\), par \(\nabla u=\alpha|x|^{\alpha-2}x\) (avec une valeur arbitraire en \(0\)), avec \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\), donc \(u\in W^{1,1}_{loc}(\mathbb R^n)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Le long d'un rayon \(x=te\), \(u(te)=t^\alpha\) a une pente unilatérale \(t^{\alpha-1}\to+\infty\) quand \(t\to0^+\) pour \(\alpha<1\) : pas de gradient fini en \(0\).
Étape 2. \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}=\alpha|x|^{-(1-\alpha)}\) ; par l'Ex 1.19 ceci est \(L^1_{loc}\) ssi \(1-\alpha<n\), toujours vrai ici.
Étape 3. Sur \(\partial B_\delta\) le terme de bord est \(O(\delta^\alpha\cdot\delta^{n-1})=O(\delta^{n-1+\alpha})\to0\).
3. Point d’apprentissage.
La cuspide est admissible parce que la singularité du gradient reste intégrable après prise en compte de l’élément de volume dépendant de la dimension.
4. Solution complète, étape par étape.
Pas de dérivée classique en \(0\). Pour un vecteur unitaire \(e\), \(t\mapsto u(te)=t^\alpha\) (\(t>0\)) a pour dérivée \(\alpha t^{\alpha-1}\to+\infty\) quand \(t\to0^+\) car \(\alpha-1<0\). Les taux d'accroissement explosent, donc \(u\) n'est pas différentiable à l'origine (elle y présente une pointe).
Intégrabilité. Hors de \(0\), \(u\in C^\infty\) et \(\nabla u=\alpha|x|^{\alpha-2}x\), d'où \(|\nabla u|=\alpha|x|^{\alpha-1}=\alpha|x|^{-(1-\alpha)}\). Par l'Ex 1.19 avec \(\gamma=1-\alpha\), \(|\nabla u|\in L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) ssi \(1-\alpha<n\) ; comme \(0<\alpha<1\le n\), c'est toujours vrai. De plus \(u=|x|^\alpha\) est continue, donc \(L^1_{loc}\).
Gradient faible. Fixons \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\delta>0\). Sur \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), donc \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi+\int_{|x|=\delta}u\varphi\,\nu_i\,dS,\qquad \nu=-\tfrac{x}{|x|}.\] Le terme sphérique est majoré par \(\delta^\alpha\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}=C\delta^{n-1+\alpha}\to0\) quand \(\delta\to0\) (exposant \(>0\)). Comme \(u,\partial_i u\in L^1_{loc}\), les intégrales de volume convergent (convergence dominée), donnant \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\). Ainsi \(\partial_i u=\alpha|x|^{\alpha-2}x_i\) au sens faible pour chaque \(i\), et \(u\) avec \(\nabla u\) sont dans \(L^1_{loc}\), soit \(u\in W^{1,1}_{loc}(\mathbb R^n)\). Le seul point \(\{0\}\), de mesure nulle, ne contribue aucune partie singulière précisément car le terme de bord décroît. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Piecewise integration by parts; continuity across corners. · <b>Expected method:</b> verify on one period, split at each corner; continuity of \(u\) cancels all boundary terms. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Construct a function that is weakly but not classically differentiable, and verify it from scratch. Take the periodic triangular wave \(u(x)=\operatorname{dist}(x,\mathbb Z)\), continuous and piecewise linear, non-differentiable at every half-integer and integer; show its weak derivative is the square wave \(g\) equal to \(+1\) on \((k,k+\tfrac12)\) and \(-1\) on \((k+\tfrac12,k+1)\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. On \([0,\tfrac12]\), \(u(x)=x\) (slope \(+1\)); on \([\tfrac12,1]\), \(u(x)=1-x\) (slope \(-1\)); extend by \(1\)-periodicity.
Checkpoint 2. At corners \(u\) is continuous, so each boundary term \(u(\text{corner})\varphi(\text{corner})\) from the left piece cancels the one from the right piece.
Checkpoint 3. Since \(\varphi\) has compact support it meets only finitely many corners, so the sum is finite and telescopes to \(-\int g\varphi\).
3. Learning check.
Corners at a countable set do not by themselves prevent weak differentiability; continuity at every corner makes the interface terms telescope.
4. Complete step-by-step solution.
Construction. Let \(u(x)=\operatorname{dist}(x,\mathbb Z)\): on \([0,\tfrac12]\), \(u(x)=x\); on \([\tfrac12,1]\), \(u(x)=1-x\); and \(u(x+1)=u(x)\). It is continuous everywhere and \(1\)-periodic, with corners at the integers (where the slope jumps from \(-1\) to \(+1\)) and half-integers (from \(+1\) to \(-1\)). At each corner the left and right classical slopes differ, so \(u\) is not classically differentiable there; on the complement it is affine with slope \(g(x)=+1\) on \((k,k+\tfrac12)\), \(-1\) on \((k+\tfrac12,k+1)\).
Verification. Let \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)\); its support meets only finitely many corners \(m_0<m_1<\dots<m_N\) (integers and half-integers), outside which \(\varphi=0\). On each subinterval \((m_{j},m_{j+1})\), \(u\) is affine with \(u'=g\) constant, so integration by parts gives \[\int_{m_j}^{m_{j+1}}u\varphi'=\big[u\varphi\big]_{m_j}^{m_{j+1}}-\int_{m_j}^{m_{j+1}}g\varphi.\] Summing over \(j\), the boundary values \(\big[u\varphi\big]\) form a telescoping sum \(\sum_j\big(u(m_{j+1})\varphi(m_{j+1})-u(m_j)\varphi(m_j)\big)=u(m_N)\varphi(m_N)-u(m_0)\varphi(m_0)=0\), because \(\varphi\) vanishes at the endpoints of its support and, at each interior corner \(m_j\), the value \(u(m_j)\varphi(m_j)\) appears once with \(+\) and once with \(-\) (continuity of \(u\)).
Hence \(\int_{\mathbb R}u\varphi'=-\int_{\mathbb R}g\varphi\) for all \(\varphi\), so \(u'=g\) weakly, with \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). This \(u\) is genuinely weakly differentiable while failing classical differentiability on the countable set \(\tfrac12\mathbb Z\); no Dirac masses arise because \(u\) has no jumps, only corners. ∎
1. Objectif.
Construisez une fonction faiblement mais non classiquement différentiable, et vérifiez-la à partir de zéro. Prenez le onde triangulaire périodique \(u(x)=\operatorname{dist}(x,\mathbb Z)\), continue et affine par morceaux, non différentiable en tout demi-entier et entier ; montrez que sa dérivée faible est le signal carré \(g\) égal à \(+1\) sur \((k,k+\tfrac12)\) et \(-1\) sur \((k+\tfrac12,k+1)\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Sur \([0,\tfrac12]\), \(u(x)=x\) (pente \(+1\)) ; sur \([\tfrac12,1]\), \(u(x)=1-x\) (pente \(-1\)) ; prolonger par \(1\)-périodicité.
Étape 2. Aux coins \(u\) est continue, donc chaque terme de bord \(u(\text{coin})\varphi(\text{coin})\) du morceau gauche annule celui du morceau droit.
Étape 3. Comme \(\varphi\) est à support compact, elle ne rencontre qu'un nombre fini de coins, donc la somme est finie et se télescope en \(-\int g\varphi\).
3. Point d’apprentissage.
Des points anguleux sur un ensemble dénombrable n’empêchent pas à eux seuls la dérivabilité faible ; la continuité à chaque coin fait télescoper les termes d’interface.
4. Solution complète, étape par étape.
Construction. Soit \(u(x)=\operatorname{dist}(x,\mathbb Z)\) : sur \([0,\tfrac12]\), \(u(x)=x\) ; sur \([\tfrac12,1]\), \(u(x)=1-x\) ; et \(u(x+1)=u(x)\). Elle est continue partout et \(1\)-périodique, avec des coins aux entiers (où la pente saute de \(-1\) à \(+1\)) et aux demi-entiers (de \(+1\) à \(-1\)). À chaque coin les pentes classiques à gauche et à droite diffèrent, donc \(u\) n'y est pas classiquement différentiable ; sur le complémentaire elle est affine de pente \(g(x)=+1\) sur \((k,k+\tfrac12)\), \(-1\) sur \((k+\tfrac12,k+1)\).
Vérification. Soit \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)\) ; son support ne rencontre qu'un nombre fini de coins \(m_0<m_1<\dots<m_N\) (entiers et demi-entiers), hors desquels \(\varphi=0\). Sur chaque sous-intervalle \((m_{j},m_{j+1})\), \(u\) est affine avec \(u'=g\) constante, donc l'intégration par parties donne \[\int_{m_j}^{m_{j+1}}u\varphi'=\big[u\varphi\big]_{m_j}^{m_{j+1}}-\int_{m_j}^{m_{j+1}}g\varphi.\] En sommant sur \(j\), les valeurs de bord \(\big[u\varphi\big]\) forment une somme télescopique \(\sum_j\big(u(m_{j+1})\varphi(m_{j+1})-u(m_j)\varphi(m_j)\big)=u(m_N)\varphi(m_N)-u(m_0)\varphi(m_0)=0\), car \(\varphi\) s'annule aux extrémités de son support et, à chaque coin intérieur \(m_j\), la valeur \(u(m_j)\varphi(m_j)\) apparaît une fois avec \(+\) et une fois avec \(-\) (continuité de \(u\)).
D'où \(\int_{\mathbb R}u\varphi'=-\int_{\mathbb R}g\varphi\) pour toute \(\varphi\), donc \(u'=g\) au sens faible, avec \(g\in L^\infty\subset L^1_{loc}\). Cette \(u\) est véritablement faiblement différentiable tout en échouant à l'être classiquement sur l'ensemble dénombrable \(\tfrac12\mathbb Z\) ; aucune masse de Dirac n'apparaît car \(u\) n'a pas de sauts, seulement des coins. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Product rule; multi-index binomials. · <b>Expected method:</b> expand the sum over \(\beta\in\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}\) and compute both sides. Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
State the multi-index Leibniz formula \(D^\alpha(uv)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}D^\beta u\,D^{\alpha-\beta}v\), where \(\binom{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}\), for smooth \(u,v\), and verify it for \(\alpha=(1,1)\) in \(\mathbb R^2\) with \(u=x^2y\), \(v=e^{x+y}\).
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. For \(\alpha=(1,1)\), all binomials \(\binom{(1,1)}{\beta}\) equal \(1\); the formula reads \(\partial_x\partial_y(uv)=u\,\partial_x\partial_y v+\partial_x u\,\partial_y v+\partial_y u\,\partial_x v+\partial_x\partial_y u\,v\).
Checkpoint 2. Compute \(\partial_x\partial_y(x^2y\,e^{x+y})\) directly and compare with the four-term sum.
Checkpoint 3. For \(\alpha=(1,1)\), list all four indices \(\beta=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\). Compute each term separately, then differentiate \(uv\) directly as an independent check.
3. Learning check.
The multi-index Leibniz rule is coordinatewise bookkeeping of all ways the derivatives can be distributed between the two factors.
4. Complete step-by-step solution.
Formula. For \(u,v\in C^{|\alpha|}\), \(D^\alpha(uv)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}D^\beta u\,D^{\alpha-\beta}v\), the multi-index analogue of the one-variable Leibniz rule, proved by iterating the product rule coordinate by coordinate.
Setup for \(\alpha=(1,1)\). Here \(\beta\) ranges over \((0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\), each binomial \(=1\), so \[\partial_x\partial_y(uv)=v\,\partial_x\partial_y u+\partial_y v\,\partial_x u+\partial_x v\,\partial_y u+u\,\partial_x\partial_y v.\]
Data. \(u=x^2y\): \(\partial_x u=2xy\), \(\partial_y u=x^2\), \(\partial_x\partial_y u=2x\). \(v=e^{x+y}\): \(\partial_x v=\partial_y v=\partial_x\partial_y v=e^{x+y}\).
Right side. \(v\,\partial_x\partial_y u=2x\,e^{x+y}\); \(\partial_y v\,\partial_x u=2xy\,e^{x+y}\); \(\partial_x v\,\partial_y u=x^2 e^{x+y}\); \(u\,\partial_x\partial_y v=x^2y\,e^{x+y}\). Sum \(=(2x+2xy+x^2+x^2y)e^{x+y}\).
Left side, directly. \(uv=x^2y\,e^{x+y}\). Then \(\partial_y(uv)=(x^2+x^2y)e^{x+y}\), and \(\partial_x\big[(x^2+x^2y)e^{x+y}\big]=(2x+2xy)e^{x+y}+(x^2+x^2y)e^{x+y}=(2x+2xy+x^2+x^2y)e^{x+y}\). The two sides agree, confirming the formula. ∎
1. Objectif.
Énoncez la formule de Leibniz multi-indicielle \(D^\alpha(uv)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}D^\beta u\,D^{\alpha-\beta}v\), où \(\binom{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}\), pour \(u,v\) régulières, et vérifiez-la pour \(\alpha=(1,1)\) dans \(\mathbb R^2\) avec \(u=x^2y\), \(v=e^{x+y}\).
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Pour \(\alpha=(1,1)\), tous les binômes \(\binom{(1,1)}{\beta}\) valent \(1\) ; la formule s'écrit \(\partial_x\partial_y(uv)=u\,\partial_x\partial_y v+\partial_x u\,\partial_y v+\partial_y u\,\partial_x v+\partial_x\partial_y u\,v\).
Étape 2. Calculez \(\partial_x\partial_y(x^2y\,e^{x+y})\) directement et comparez à la somme à quatre termes.
Étape 3. Pour \(\alpha=(1,1)\), énumérez les quatre indices \(\beta=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\). Calculez chaque terme séparément, puis dérivez directement \(uv\) comme vérification indépendante.
3. Point d’apprentissage.
La formule de Leibniz multi-indicielle comptabilise, coordonnée par coordonnée, toutes les manières de répartir les dérivées entre les deux facteurs.
4. Solution complète, étape par étape.
Formule. Pour \(u,v\in C^{|\alpha|}\), \(D^\alpha(uv)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}D^\beta u\,D^{\alpha-\beta}v\), l'analogue multi-indiciel de la règle de Leibniz à une variable, démontré en itérant la règle du produit coordonnée par coordonnée.
Mise en place pour \(\alpha=(1,1)\). Ici \(\beta\) parcourt \((0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\), chaque binôme \(=1\), donc \[\partial_x\partial_y(uv)=v\,\partial_x\partial_y u+\partial_y v\,\partial_x u+\partial_x v\,\partial_y u+u\,\partial_x\partial_y v.\]
Données. \(u=x^2y\) : \(\partial_x u=2xy\), \(\partial_y u=x^2\), \(\partial_x\partial_y u=2x\). \(v=e^{x+y}\) : \(\partial_x v=\partial_y v=\partial_x\partial_y v=e^{x+y}\).
Membre de droite. \(v\,\partial_x\partial_y u=2x\,e^{x+y}\) ; \(\partial_y v\,\partial_x u=2xy\,e^{x+y}\) ; \(\partial_x v\,\partial_y u=x^2 e^{x+y}\) ; \(u\,\partial_x\partial_y v=x^2y\,e^{x+y}\). Somme \(=(2x+2xy+x^2+x^2y)e^{x+y}\).
Membre de gauche, directement. \(uv=x^2y\,e^{x+y}\). Alors \(\partial_y(uv)=(x^2+x^2y)e^{x+y}\), et \(\partial_x\big[(x^2+x^2y)e^{x+y}\big]=(2x+2xy)e^{x+y}+(x^2+x^2y)e^{x+y}=(2x+2xy+x^2+x^2y)e^{x+y}\). Les deux membres coïncident, confirmant la formule. ∎
Expected evidence: <b>Prerequisites:</b> Ex 1.19, 1.22, 1.27; excision and the sphere estimate. · <b>Expected method:</b> require both \(u\) and the candidate gradient in \(L^1_{loc}\); track the surface term as \(\delta\to0\). Show all essential identities, justify integrability and any boundary or singular terms, and state the mathematical conclusion explicitly.
1. Goal.
Let \(n\ge2\). Determine the full range of exponents \(\gamma\in\mathbb R\) for which \(u(x)=|x|^{-\gamma}\) for \(x\ne0\), with \(u(0)\) assigned arbitrarily, has a weak gradient in \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Prove that the answer is exactly \(\gamma<n-1\), being careful to check local integrability and that no singular boundary contribution remains at the origin.
2. Reasoning plan.
Checkpoint 1. Classically on \(\mathbb R^n\setminus\{0\}\), \(\nabla u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x\), so \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}\). For \(\gamma\ne0\), polar coordinates give local integrability exactly when \(\gamma<n-1\); the case \(\gamma=0\) is constant and also lies in the final range for \(n\ge2\).
Checkpoint 2. For sufficiency when \(\gamma<n-1\), integrate by parts outside \(B_\delta\). The absolute value of the small-sphere term is bounded by \(C\delta^{n-1-\gamma}\), which tends to zero under this hypothesis. This upper bound is used for sufficiency; it should not be read as a converse criterion by itself.
Checkpoint 3. For necessity, any \(L^1_{loc}\) weak partial derivative must agree a.e. with the classical partial derivative on \(\mathbb R^n\setminus\{0\}\). If \(n-1\le\gamma<n\), those classical partials fail to be locally integrable near the origin, so no \(L^1_{loc}\) weak gradient can exist; if \(\gamma\ge n\), even \(u\notin L^1_{loc}\).
3. Learning check.
For \(n\ge2\), the binding threshold is the local integrability of the nonzero classical gradient near the origin: \(\gamma<n-1\). Local integrability of \(u\) alone has the weaker threshold \(\gamma<n\); the small-sphere estimate supplies the sufficiency argument under the binding condition.
4. Complete step-by-step solution.
Necessary conditions. For a weak gradient to exist in \(L^1_{loc}\), both \(u\) and its weak partials must be in \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). By Ex 1.19, \(u=|x|^{-\gamma}\in L^1_{loc}\) iff \(\gamma<n\). Off the origin \(u\in C^\infty\) with \(\partial_i u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x_i\), so \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}=|\gamma|\,|x|^{-(\gamma+1)}\); by Ex 1.19 with exponent \(\gamma+1\), this lies in \(L^1_{loc}\) iff \(\gamma+1<n\), i.e. \(\gamma<n-1\). Since \(\gamma<n-1\Rightarrow\gamma<n\), the binding constraint is \(\gamma<n-1\).
Sufficiency: the classical gradient is the weak gradient. Assume \(\gamma<n-1\). Fix \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\delta>0\). On \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), so the divergence theorem gives \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi+\int_{|x|=\delta}u\,\varphi\,\nu_i\,dS,\qquad\nu=-\tfrac{x}{|x|}.\] On \(\partial B_\delta\), \(u=\delta^{-\gamma}\), so the surface term is bounded by \(\delta^{-\gamma}\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}=C\,\delta^{\,n-1-\gamma}\). Since \(n-1-\gamma>0\), this \(\to0\) as \(\delta\to0\).
Passing to the limit. Because \(u\in L^1_{loc}\) and \(\partial_i u\in L^1_{loc}\) (both from \(\gamma<n-1\)), dominated convergence gives \(\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi\to\int u\,\partial_i\varphi\) and \(\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi\to\int(\partial_i u)\varphi\). Hence \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\), so \(\partial_i u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x_i\) weakly, and the weak gradient exists in \(L^1_{loc}\).
Failure for \(\gamma\ge n-1\). If \(n-1\le\gamma<n\), then \(u\in L^1_{loc}\) but \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}\notin L^1_{loc}\), so no candidate gradient is even locally integrable; the classical gradient off \(0\) cannot serve, and no other \(L^1_{loc}\) function can either (it would have to agree with it a.e. away from \(0\)). If \(\gamma\ge n\), even \(u\notin L^1_{loc}\). Therefore \(|x|^{-\gamma}\) has a weak gradient in \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) if and only if \(\gamma<n-1\). The binding threshold is \(\gamma<n-1\): it is the exact local-integrability threshold for the nonzero classical gradient near the origin, while local integrability of \(u\) alone has the weaker threshold \(\gamma<n\). The small-sphere estimate supplies the sufficiency proof under the binding condition. ∎
1. Objectif.
Soit \(n\ge2\). Déterminez l’ensemble complet des exposants \(\gamma\in\mathbb R\) pour lesquels \(u(x)=|x|^{-\gamma}\) pour \(x\ne0\), avec \(u(0)\) choisi arbitrairement, admet un gradient faible dans \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Démontrez que la réponse est exactement \(\gamma<n-1\), en vérifiant soigneusement l’intégrabilité locale et l’absence de contribution singulière de bord à l’origine.
2. Plan de raisonnement.
Étape 1. Classiquement \(\nabla u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x\), donc \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}\) ; par l'Ex 1.19 ceci est \(L^1_{loc}\) ssi \(\gamma+1<n\).
Étape 2. Pour la suffisance lorsque \(\gamma<n-1\), intégrez par parties hors de \(B_\delta\). La valeur absolue du terme sur la petite sphère est majorée par \(C\delta^{n-1-\gamma}\), qui tend vers zéro sous cette hypothèse. Cette majoration sert à la suffisance et ne doit pas être interprétée, à elle seule, comme un critère réciproque.
Étape 3. La condition \(\gamma<n-1\) garantit simultanément \(u\in L^1_{loc}\) (\(\gamma<n\)), \(|\nabla u|\in L^1_{loc}\), et l'annulation du terme de bord - les trois coïncident.
3. Point d’apprentissage.
Pour \(n\ge2\), trois vérifications doivent concorder : \(u\in L^1_{loc}\), le gradient classique hors de l’origine est localement intégrable, et le terme de bord sur les petites sphères tend vers zéro.
4. Solution complète, étape par étape.
Conditions nécessaires. Pour qu'un gradient faible existe dans \(L^1_{loc}\), \(u\) et ses dérivées partielles faibles doivent être dans \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\). Par l'Ex 1.19, \(u=|x|^{-\gamma}\in L^1_{loc}\) ssi \(\gamma<n\). Hors de l'origine \(u\in C^\infty\) avec \(\partial_i u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x_i\), donc \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}=|\gamma|\,|x|^{-(\gamma+1)}\) ; par l'Ex 1.19 avec l'exposant \(\gamma+1\), ceci est dans \(L^1_{loc}\) ssi \(\gamma+1<n\), soit \(\gamma<n-1\). Comme \(\gamma<n-1\Rightarrow\gamma<n\), la contrainte déterminante est \(\gamma<n-1\).
Suffisance : le gradient classique est le gradient faible. Supposons \(\gamma<n-1\). Fixons \(\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)\), \(\delta>0\). Sur \(\{|x|>\delta\}\), \(u\in C^1\), donc le théorème de la divergence donne \[\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi=-\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi+\int_{|x|=\delta}u\,\varphi\,\nu_i\,dS,\qquad\nu=-\tfrac{x}{|x|}.\] Sur \(\partial B_\delta\), \(u=\delta^{-\gamma}\), donc le terme de surface est majoré par \(\delta^{-\gamma}\|\varphi\|_\infty\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}=C\,\delta^{\,n-1-\gamma}\). Comme \(n-1-\gamma>0\), ceci \(\to0\) quand \(\delta\to0\).
Passage à la limite. Comme \(u\in L^1_{loc}\) et \(\partial_i u\in L^1_{loc}\) (les deux via \(\gamma<n-1\)), la convergence dominée donne \(\int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\varphi\to\int u\,\partial_i\varphi\) et \(\int_{|x|>\delta}(\partial_i u)\varphi\to\int(\partial_i u)\varphi\). D'où \(\int u\,\partial_i\varphi=-\int(\partial_i u)\varphi\), donc \(\partial_i u=-\gamma|x|^{-\gamma-2}x_i\) au sens faible, et le gradient faible existe dans \(L^1_{loc}\).
Échec pour \(\gamma\ge n-1\). Si \(n-1\le\gamma<n\), alors \(u\in L^1_{loc}\) mais \(|\nabla u|=|\gamma|\,|x|^{-\gamma-1}\notin L^1_{loc}\), donc aucun gradient candidat n'est même localement intégrable ; le gradient classique hors de \(0\) ne peut servir, ni aucune autre fonction \(L^1_{loc}\) (elle devrait lui être égale p.p. hors de \(0\)). Si \(\gamma\ge n\), même \(u\notin L^1_{loc}\). Par conséquent \(|x|^{-\gamma}\) a un gradient faible dans \(L^1_{loc}(\mathbb R^n)\) si et seulement si \(\gamma<n-1\). Le seuil déterminant est \(\gamma<n-1\) : il correspond à l’intégrabilité locale du gradient classique non nul près de l’origine, tandis que l’intégrabilité locale de \(u\) seule impose seulement \(\gamma<n\). La majoration sur la petite sphère fournit la preuve de suffisance sous la condition déterminante. ∎
Chapter Synthesis
Concept map
Theorem dependency summary
The definition of the weak derivative (Def. 1.4) is made legitimate by Thm. 1.1 (uniqueness), whose engine is the fundamental lemma proved through mollification. Thm. 1.2 (consistency) shows the notion extends the classical derivative, so no information is lost on smooth functions, while Thm. 1.3 (linearity) and Thm. 1.5 (Leibniz rule) turn the definition into a calculus. Thm. 1.4 (one-dimensional characterisation) is the conceptual centre: it identifies weak differentiability with local absolute continuity and thereby explains, in a single stroke, why \(|x|\) and tent functions qualify but the Heaviside step does not. Thm. 1.6 (mollification) is the workhorse tool: it supplies the approximation used to prove Thm. 1.1 and reappears in every density argument of later chapters. Together the six results move from a formal identity to a usable, uniquely-defined, calculus-bearing notion of derivative.
La définition de la dérivée faible (déf. 1.4) est rendue légitime par le thm. 1.1 (unicité), dont le moteur est le lemme fondamental prouvé par régularisation. Le thm. 1.2 (cohérence) montre que la notion prolonge la dérivée classique, de sorte qu'aucune information n'est perdue sur les fonctions régulières, tandis que le thm. 1.3 (linéarité) et le thm. 1.5 (règle de Leibniz) transforment la définition en un calcul. Le thm. 1.4 (caractérisation unidimensionnelle) en est le centre conceptuel : il identifie la dérivabilité faible à la continuité absolue locale et explique ainsi, d'un seul trait, pourquoi \(|x|\) et les fonctions triangle conviennent mais non l'échelon de Heaviside. Le thm. 1.6 (régularisation) est l'outil de base : il fournit l'approximation utilisée pour prouver le thm. 1.1 et reparaît dans tout argument de densité des chapitres ultérieurs. Ensemble, les six résultats font passer d'une identité formelle à une notion de dérivée utilisable, définie de manière unique et munie d'un calcul.
Notation summary
- \(\alpha,\ |\alpha|,\ D^\alpha\) - multi-index, its order, and the associated operator\(\alpha,\ |\alpha|,\ D^\alpha\) - multi-indice, son ordre et l'opérateur associé
- \(C_c^\infty(\Omega)=\mathcal D(\Omega)\) - test functions; \(\operatorname{supp}\varphi\) - support\(C_c^\infty(\Omega)=\mathcal D(\Omega)\) - fonctions test ; \(\operatorname{supp}\varphi\) - support
- \(L^1_{loc}(\Omega)\) - locally integrable functions\(L^1_{loc}(\Omega)\) - fonctions localement intégrables
- \(D^\alpha u\) - weak derivative; \(\nabla u=(D_1u,\dots,D_nu)\) - weak gradient\(D^\alpha u\) - dérivée faible ; \(\nabla u=(D_1u,\dots,D_nu)\) - gradient faible
- \(\eta,\ \eta_\varepsilon\) - standard mollifier; \(u*\eta_\varepsilon\) - mollification\(\eta,\ \eta_\varepsilon\) - noyau régularisant standard ; \(u*\eta_\varepsilon\) - régularisée
- \(\tilde u\) - locally absolutely continuous representative (in 1D)\(\tilde u\) - représentant localement absolument continu (en 1D)
| English | Français |
|---|---|
| weak derivative | dérivée faible |
| multi-index | multi-indice |
| test function | fonction test |
| locally integrable | localement intégrable |
| mollifier | noyau régularisant |
| absolutely continuous | absolument continu |
| compact support | support compact |
Frequent misconceptions
- The weak derivative is not the classical derivative "where it exists": the Heaviside step has classical derivative \(0\) a.e. yet no weak derivative in \(L^1_{loc}\).La dérivée faible n'est pas la dérivée classique « là où elle existe » : l'échelon de Heaviside a une dérivée classique nulle p.p. et pourtant aucune dérivée faible dans \(L^1_{loc}\).
- A genuine jump of the underlying a.e. function across an interface creates a singular distributional derivative (a Dirac mass in one dimension, or an interface measure in higher dimensions), so it is not represented by an L^1_loc weak derivative. Merely changing a representative on a null set does not change the weak derivative.Un véritable saut de la fonction définie presque partout à travers une interface crée une dérivée distributionnelle singulière (une masse de Dirac en dimension un, ou une mesure d’interface en dimension supérieure) ; elle n’est donc pas représentée par une dérivée faible dans L^1_loc. Modifier seulement un représentant sur un ensemble nul ne change pas la dérivée faible.
- Piecewise smoothness alone is not enough for weak differentiability. In one dimension, the exact criterion is the existence of a locally absolutely continuous representative; continuity by itself is necessary for that representative but not sufficient.La régularité par morceaux ne suffit pas, à elle seule, à la dérivabilité faible. En dimension un, le critère exact est l’existence d’un représentant localement absolument continu ; la continuité de ce représentant est nécessaire mais ne suffit pas à elle seule.
- The weak derivative is defined only up to almost-everywhere equality, so its value at isolated points, such as \(\operatorname{sgn}(0)\), is meaningless.La dérivée faible n'est définie qu'à égalité presque partout près, de sorte que sa valeur en des points isolés, comme \(\operatorname{sgn}(0)\), n'a pas de sens.
- The sign \((-1)^{|\alpha|}\) is not cosmetic: it records the number of integrations by parts and is essential for consistency with the classical derivative.Le signe \((-1)^{|\alpha|}\) n'est pas cosmétique : il enregistre le nombre d'intégrations par parties et est essentiel à la cohérence avec la dérivée classique.
Oral examination questions
- State the definition of the weak derivative \(D^\alpha u\) and explain where the factor \((-1)^{|\alpha|}\) comes from.Énoncer la définition de la dérivée faible \(D^\alpha u\) et expliquer d'où vient le facteur \((-1)^{|\alpha|}\).
- Prove that the weak derivative is unique up to a.e. equality, stating the fundamental lemma you use.Prouver que la dérivée faible est unique à égalité p.p. près, en énonçant le lemme fondamental utilisé.
- Show that for \(u\in C^{|\alpha|}\) the classical and weak derivatives coincide. Where does compact support enter?Montrer que pour \(u\in C^{|\alpha|}\) les dérivées classique et faible coïncident. Où le support compact intervient-il ?
- State and prove the one-dimensional characterisation of weak differentiability by local absolute continuity.Énoncer et prouver la caractérisation unidimensionnelle de la dérivabilité faible par la continuité absolue locale.
- Compute the weak derivative of \(|x|\), and explain why the Heaviside step has none in \(L^1_{loc}\).Calculer la dérivée faible de \(|x|\), et expliquer pourquoi l'échelon de Heaviside n'en a aucune dans \(L^1_{loc}\).
- State the three properties of mollification and explain how they combine to prove the fundamental lemma.Énoncer les trois propriétés de la régularisation et expliquer comment elles se combinent pour prouver le lemme fondamental.
Assemble a short, self-contained portfolio proving, in order: (1) the fundamental lemma of the calculus of variations via mollification (the heart of Thm. 1.1); (2) uniqueness of the weak derivative up to a.e. equality (Thm. 1.1); (3) the one-dimensional characterisation that weak differentiability is exactly local absolute continuity (Thm. 1.4). Together these justify the definition, pin it down uniquely, and give the concrete geometric picture in one dimension; the mollification lemma of step (1) is the tool you will reuse in every density and approximation argument later.
Constituer un court portfolio autonome prouvant, dans l'ordre : (1) le lemme fondamental du calcul des variations par régularisation (le cœur du thm. 1.1) ; (2) l'unicité de la dérivée faible à égalité p.p. près (thm. 1.1) ; (3) la caractérisation unidimensionnelle selon laquelle la dérivabilité faible équivaut exactement à la continuité absolue locale (thm. 1.4). Ensemble, ces résultats justifient la définition, la fixent de manière unique et en donnent l'image géométrique concrète en dimension un ; le lemme de régularisation de l'étape (1) est l'outil que vous réutiliserez dans tout argument ultérieur de densité et d'approximation.
Many variational existence theories for PDE relax pointwise differentiability and ask instead for identities against test functions. Sobolev weak derivatives make this rigorous for functions whose distributional derivatives are represented by locally integrable, often \(L^p\), functions. They are central to the Dirichlet principle, the direct method in the calculus of variations, elliptic weak formulations, and finite-element analysis.
Important boundary of the concept. Not every nonsmooth PDE object belongs to this framework. Genuine jump discontinuities may have derivative measures such as Dirac masses or interface measures and are naturally handled in distribution or \(BV\) theories. Viscosity solutions use a different comparison-based notion rather than Sobolev weak differentiation. Keeping these frameworks distinct prevents a common conceptual error while showing how this chapter feeds directly into modern PDE analysis.
De nombreuses théories variationnelles d’existence pour les EDP relâchent la dérivabilité ponctuelle et demandent plutôt des identités contre des fonctions test. Les dérivées faibles de Sobolev rendent cette démarche rigoureuse pour les fonctions dont les dérivées distributionnelles sont représentées par des fonctions localement intégrables, souvent dans \(L^p\). Elles sont centrales dans le principe de Dirichlet, la méthode directe du calcul des variations, les formulations faibles elliptiques et l’analyse par éléments finis.
Frontière importante de la notion. Tout objet non régulier d’EDP n’appartient pas à ce cadre. Les véritables discontinuités de saut peuvent avoir pour dérivées des mesures telles que des masses de Dirac ou des mesures d’interface et relèvent naturellement des théories des distributions ou de \(BV\). Les solutions de viscosité utilisent une notion différente fondée sur la comparaison, et non sur la dérivation faible de Sobolev. Distinguer ces cadres évite une confusion conceptuelle fréquente tout en montrant comment ce chapitre conduit directement à l’analyse moderne des EDP.
Connections to later courses
The weak derivative is the atom of the whole subject. Requiring \(D^\alpha u\in L^p\) for \(|\alpha|\le k\) defines the Sobolev spaces \(W^{k,p}\) of Chapter 2; the mollification lemma proves smooth functions are dense there (Chapter 3), which in turn underwrites the trace and extension theorems of Chapter 4 and the embedding theorems of Chapters 5 and 6. In Chapter 7 the weak formulation of elliptic boundary-value problems recasts \(-\Delta u=f\) as a variational identity in the appropriate energy space, for example \(H_0^1(\Omega)\) for homogeneous Dirichlet data, and the Lax-Milgram theorem gives existence under the standard coercivity hypotheses. Chapter 8 then studies additional regularity of weak solutions under stronger assumptions. The same idea seeds Distribution Theory, where every locally integrable function can be differentiated arbitrarily many times in the distributional sense, and Fourier Analysis, where distributional derivatives correspond to multiplication by powers of \(i\xi\) on the transform side.
La dérivée faible est l'atome de toute la matière. Exiger \(D^\alpha u\in L^p\) pour \(|\alpha|\le k\) définit les espaces de Sobolev \(W^{k,p}\) du chapitre 2 ; le lemme de régularisation prouve que les fonctions régulières y sont denses (chapitre 3), ce qui sous-tend à son tour les théorèmes de trace et de prolongement du chapitre 4 et les théorèmes d'injection des chapitres 5 et 6. Au chapitre 7, la formulation faible des problèmes aux limites elliptiques reformule \(-\Delta u=f\) comme une identité variationnelle dans l'espace d'énergie approprié, par exemple \(H_0^1(\Omega)\) pour des données de Dirichlet homogènes, et le théorème de Lax-Milgram donne l'existence sous les hypothèses usuelles de coercivité. Le chapitre 8 étudie ensuite une régularité supplémentaire des solutions faibles sous des hypothèses renforcées. La même idée est à la source de la théorie des distributions, où toute fonction localement intégrable peut être dérivée un nombre arbitraire de fois au sens des distributions, et de l'analyse de Fourier, où les dérivées distributionnelles correspondent à la multiplication par des puissances de \(i\xi\) du côté transformé.
Readiness self-assessment
If every box is checked, you are ready for Chapter 2: Sobolev Spaces \(W^{k,p}\). Chapter 2 is built and will be published during the staged course deployment.Si toutes les cases sont cochées, vous êtes prêt pour le chapitre 2 : Espaces de Sobolev \(W^{k,p}\). Le chapitre 2 est construit et sera publié au cours du déploiement progressif du cours.